江苏省苏州市中考数学专题训练（三）一次函数和反比例函数结合[含解析]

2017中考数学专题训练(三)一次函数和反比例函数结合

纵观近5年中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．

类型1 利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式

【例1】如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A(1，0)，B(0，－1)两点，且与反比例m

函数y＝(m≠0)的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2.

x

(1)求一次函数的解析式；

(2)求C点坐标及反比例函数的解析式．

【解析】(1)将点A(1，0)，B(0，－1)代入y＝kx＋b即可．(2)将C点的横坐标代入公式y＝kx＋b即可求出m

纵坐标，再代入y＝中即可．

x

???k＋b＝0，?k＝1，

【学生解答】解：(1)由题意得?解得?一次函数的解析式为y＝x－1；(2)当x＝2时，y＝2

?b＝－1.?b＝－1，??

mm

－1＝1，所以C点坐标为(2，1)；又C点在反比例函数y＝(m≠0)的图象上，∴1＝，解得m＝2.所以反比例函数

x22

的解析式为y＝. x

针对练习

k

1．(2016重庆中考)在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图形与反比例函数y＝(k≠0)的图象

x4

交于第二、四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝，点B3的坐标为(m，－2)．

(1)求△AHO的周长；

(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．

422解：(1)由OH＝3，tan∠AOH＝，得AH＝4.即A(－4，3)．由勾股定理，得AO＝OH＋AH＝5，△AHO的周长

3k

＝AO＋AH＋OH＝3＋4＋5＝12；(2)将A点坐标代入y＝(k≠0)，得k＝－4×3＝－12，反比例函数的解析式为y＝

x

1

??－4a＋b＝3，－12－12

；当y＝－2时，－2＝，解得x＝6，即B(6，－2)．将A，B两点坐标代入y＝ax＋b，得?解xx??6a＋b＝－2，

1??a＝－，

2一次函数的解析式为y＝－1x＋1. 得?

2

?b＝1，?

k?1?2．(2016乐山中考)如图，反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B?，n?.

x?2?(1)求这两个函数解析式；

k

(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有

x且只有一个交点，求m的值．

k4?1?解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝.又∵点B?，n?在反xx?2?41?1??1?比例函数y＝的图象上，∴n＝4，解得n＝8，即点B的坐标为?，8?.由A(2，2)，B?，8?在一次函数y＝ax＋bx2?2??2?2＝2a＋b，????a＝－4，

的图象上，得?1解得?∴一次函数的解析式为y＝－4x＋10； (2)将直线y＝－4x＋10向下平移

?b＝10，8＝a＋b，???2

m个单位长度得直线的解析式为y＝－4x＋10－m，∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝有且只有一个交点，令－

422

4x＋10－m＝，得4x＋(m－10)x＋4＝0，∴Δ＝(m－10)－64＝0，解得m＝2或18.

x

类型2 与面积有关的问题

n

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足

x为C，△AOC的面积是1.

4x

(1)求m，n的值； (2)求直线AC的解析式．

【解析】(1)因为A(－1，a)，所以B的横坐标为1，即C(1，0)．再由S△AOC＝1，得A(－1，2)，再代入y＝mxn

与y＝即可．(2)将A、C坐标代入即可．

x

2

n

【学生解答】解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1，a)，B两点，∴B点横坐标为1，即C(1，0)，

xn

∵△AOC的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y＝mx，y＝可得m＝－2，n＝－2；(2)设直线AC的解析式

x

??－k＋b＝2，

为y＝kx＋b，由题意得?解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1.

?k＋b＝0.?

针对练习

m?1?3．(2016宜宾中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(2，－1)，B?，n?

x?2?两点，直线y＝2与y轴交于点C.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC的面积．

m2?1?解：(1)把A(2，－1)代入反比例解析式得：－1＝，即m＝－2，∴反比例解析式为y＝－，把B?，n?代入

2x?2?2k＋b＝－1，??k＝2，?1???反比例解析式得：n＝－4，即B?，－4?.把A与B的坐标代入y＝kx＋b中得：?1解得?则一

?2??b＝－5.k＋b＝－4，???2次函数的解析式为y＝2x－5；(2)设直线AB与y轴交于点E，则点E的坐标为(0，－5)，∵点C的坐标为(0，2)，

CE＝2－(－5)＝7，∵点A到y轴的距离为2，点B到y轴的距离为，∴S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝×7×2－×7×＝7

721

－＝. 44

m

4．(2016泸州中考)如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的

x图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．

12121212

m4

解：(1)∵点A(4，1)在反比例函数y＝的图象上，∴m＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；(2)将点

xx

3

A(4，1)代入一次函数的解析式中，即1＝4k＋b，解得b＝1－4k.∴y＝kx＋(1－4k)，令x＝0，则y＝1－4k，∴C(0，

4??y＝，41121－4k)．又?x?kx＋(1－4k)x－4＝0.xA·xB＝－，xA＝4.∴xB＝－，S△OBC＝OC·xB＝3，∴kkk2

??y＝kx＋（1－4k），11

＝－，∴y＝－x＋3.

22

类型3 与最小(大)值有关的问题

k

【例3】一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，

x过点A作y轴的垂线，垂足为M.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM的面积S；

(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．

【解析】(3)作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，则点P即为所求．

kk4

【学生解答】解：(1)将B(4，1)代入y＝，得1＝.∴k＝4，∴y＝，将B(4，1)代入y＝mx＋5，得1＝4mx4x41

＋5，∴m＝－1，∴y＝－x＋5；(2)在y＝中，令x＝1，解得y＝4，∴A(1，4)，∴S＝×1×4＝2；(3)作点A关

x2于y轴的对称点N，则N(－1，4)，连接BN交y轴于点P，点P即为所求．设直线BN的关系式为y＝kx＋b，由3

k＝－，??5??4k＋b＝1，317?17??解得?y＝－x＋，∴P?0，?.

5?55??－k＋b＝4，17?

??b＝5， 针对练习

k

5．(2016新疆中考)如图，直线y＝2x＋3与y轴交于A点，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，过点Bx作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为(1，0)．

(1)求反比例函数的解析式；

k

(2)点D(a，1)是反比例函数y＝(x>0)图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求

x出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4