代数式与实数的分类

代数式与实数的分类

任教初中数学多年，经常碰到有关代数式和实数分类的问题，很多学生都感觉迷茫，今天我们就讨论一下如何对代数式和实数进行分类。

首先，我们来认识一下这些代数式的概念，并结合概念讨论代数式的分类流程。 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。（带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式）

整式：是指没有除法运算，或有除法运算但除数中不含字母的有理式。

分式：是指有除法运算，而且除式中含有字母的有理式。 根式：是指含有开方运算的代数式。

有理式：对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算的代数式.有理式包括整式和分式。

无理式：被开方数含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式。（初中阶段不讨论字母的非整数次乘方的情况）

现在我们来看看代数式的分类，进行代数式分类时，应该以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象，划分代数式类别时，是从外形来看的。在初中阶段，对代数式进行分类具体方法是这样的：

先根据被开方数中是否含有字母，将有理式与无理式区别开（初中阶段一般不讨论有理式和无理式的分类）；再根据除式中是否含有字母，将整式和分式区别开；最后根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

简记：代数式分类要注意，只看外形不化简，三重标准依次看，标准如下记仔细。

看开数是含字被方中否有母 是，则为 无理式 是，则为 分 式 看子是含加运式中否有减算 是，则为 多项式 代数式 否，则为 有理式 看母是含字分中否有母 否，则为 整 式 否，则为 单项式 例如：

所以是有理式，且不含除法运算，所以它是整式。所以3?2a3 被开方数不含字母，是多项式。

3被开方数不含字母，所以是有理式，但分母中含有字母，所以它是分式。所以a3?2b是分式。 a4a2被开方数含有字母，所以是无理式，虽然它可以进行如下化简，

?2aa?0?4a?2a???，化简后得到的是一个有理整式，但是进行代数式分类时，是

??2aa?0?2以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。所以它不能归入整式类。类似的

x2x2虽然化简后可以得到整式x，但仍然属于分式类。 xx下面我们讨论一下实数及其分类。

例如：4应该是整数，因为4本身是一个代数式，它运算的结果等于2，2是一个整数，所以4是一个整数，属于有理数。

3应该是无理数，因为虽然3本身也是一个代数式，但它运算的结果是一个无限不循环的小数，为表示的方便，可直接把3作为运算的结果看。所以3是一个无理数。

4应该归为整数类，因为虽然它具有分数的形式，但实际也表示了4除以2这样的一2410个运算，我们要将其化简看最后结果等于2，是一个整数，所以应该是整数。但是已

23经不能再约分，其分母不为1，所以是分数。

所以：①实数的分类需要先对代数式（尤其是分式或根式）进行化简运简，然后再根据所得结果分类。

②如果分数能约分至分母为1，则应归为整数，否则就是分数；所有整数和分数都是有理数；如果根式运算结果能开得尽方，则应根据开方运算的结果分类，如果不能开得尽方，则应归为无理数。