可逆矩阵在通信中的应用

可逆矩阵及其在保密通信中的应用

摘 要 本文在可逆矩阵的定义、性质及求法的基础上，讨论了判断可逆矩阵的方法、分块可逆矩阵的求法以及可逆矩阵的一类求法，并通过实例给出了具体应用.介绍了保密通信及可逆矩阵在其中的应用.

关键词 矩阵理论；可逆矩阵；保密通信；伴随矩阵；性质

0 引言

随着科学技术的不断进步，矩阵理论已成为众多高科技邻域不可或缺的组成部分.而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容，但在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点却零零散散，而且忽略了其重要实际应用，以至于让很多人错误地认为逆矩阵没有多大用处.为了能具体地、形象地认识逆矩阵，将抽象的知识具体的表现出来，掌握其本质，更能简单的运用到实际当中.在我们学过的高等代数教材中对可逆矩阵给出了明确的定义，但未对可逆矩阵的求解方法详细的介绍，本文主要讨论可逆矩阵的求解方法及其在保密通信中的应用.

1 可逆矩阵

定义1 在线性代数中，对于任意一个n阶方阵A，如果有n阶方阵B，使得AB=BA?E，其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆矩阵，记作A.

若方阵A的逆矩阵存在，则称A为非奇异方阵或可逆矩阵. 1.2 可逆矩阵的性质

?1性质1 若A是可逆的，则A也可逆，且A?1??A?1?1?A.

?1?1?1 性质2 若A、B是两个同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且?AB??BA.

性质3 若可逆矩阵A的转置矩阵为A，则AT??T?1??A?1T?.

性质4 若A是可逆矩阵，则有A?1?A. 1.3 可逆矩阵的判定

?1定理1 初等变换不改变矩阵的可逆性.

证明 设A经过一次初等行变换得到B，那么存在一个初等矩阵E，使得

EA?B.由于初等矩阵可逆，当A可逆时，EA也可逆，即B可逆。另一方面，

A?E?1B，当B可逆时，E?1B可逆，即A可逆.对列变换的情形可类似的证明.

1.4 几个充要条件 定理2 A可逆?A?In. 定理3 A可逆?A?P1Ps，Pi是初等矩阵.

证明 设A可逆，则A的等价标准形为In，即 存在初等矩阵P1,P2,?1?1于是A?P1P2?1?1?P1P2,Ps,Q1,,Q2,,Qt使得PsP2PAQ11,Q2Qt?In，

?1?1PIQsnt?1?1PsQtQ2?1Q1?1 Q2?1Q1?1

故A可表示成一些初等矩阵的乘积.

定理4 A可逆?只经过行初等变化为In. 证明 因为A可逆?存在 初等矩阵P1,P2,等变换化成E.

定理5 设A,B是两个n阶矩阵，则AB?AB. 推论1 设A1,A2,?1Ps?Ps?1?1s次初P2P1A?E?A经过

,P12s使得A?PP,As都是n阶矩阵，则

A1,A2,,As?A1A2定理6 A可逆?A?0.

As.

证明 必要性 设A可逆，则存在A?1使得AA?1?E由定理5得

AA?1?A?1A?E?1所以A?0.

充分性 若A?0，由定理2，存在P1,P2,使得Ps,Ps,Q1,,Q2,,Qt

P2PAQ11,Q2Qt?In

?1?1于是A?P1P2?1?1?P1P2?1?1PIQsnt?1?1PsQtQ2?1Q1?1 Q2?1Q1?1

故A可逆.

1.5逆矩阵的求法 1.5.1初等变换法 原理 设 ps则psp1A?E,psp1A,psp1E?A?1

p1E???E,A?1?.

p1?A,E???ps?223????1例1 设A??1?10?，判定A是否可逆，若可逆，求A.

??121???解 因为A?0所以A可逆

?223100???r1?2r2? ?AE???1?10010????r3?r2??121001????0431?20?r?r??r12?43r3? r1?r2?1?10010?????011011?r2?r3???101021???r1?r3011011? r2?r3??????00?11?6?4?r3???1????1001?4?3????101015?3?EA?? ???001?164???故

?1?4?3??A?1??15?3??.

??164???1.5.2伴随矩阵法

定义2 设Aij是矩阵

?a11?A???a?n1中元素aij的代数余子式，矩阵

a1n??? ann???A11?A*???A?m1称为A的伴随矩阵.

1.5.3求逆矩阵的公式

?1A?

A1n??? Amn??1*A（牢记AA*?A*A?AE）. A?123????1例2 设A??221? 判定A是否可逆，若可逆，求A.

?343???解 因为A?2，所以

A可逆。又A11?2,A12??3,A13?2,

?2?5?? ?32?1?1??3A21?6,A22??6,A23?2,A31??4,A32?5,A33??2 所以

?126?4???1*1?3?A?1?A???3?65????A2??2??22?2??1??1?3?1所以 A????2?1??2?5?? . ?32?1?1??31.6可逆分块矩阵的逆矩阵

1.6.1缺角阵的逆矩阵

设A,B分别是m,n阶可逆矩阵，则有Laplace定理知m?n阶分块矩阵