高等数学基础知识点大全整理版

10、函数极限的运算规则

前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

⑴、函数极限的运算规则 若已知x→x0(或x→∞)时，

.

则：

推论：

在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

例题：求

解答：

例题：求

此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。

解答：

注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。

函数极限的存在准则

学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。 我们先来看一个例子：

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例：符号函数为念。

对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概

定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当

时的左极限.记：

与常量A无限接近，则称A为函数

当

时

如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数

的右极限.记：

注：只有当x→x0时，函数函数极限的存在准则

的左、右极限存在且相等，方称

在x→x0时有极限

准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有

≤那末

≤

，且存在，且等于A

，

注：此准则也就是夹逼准则. 准则二：单调有界的函数必有极限. 注：有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限

一：

...

注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045

二：

注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.

注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.

例题：求

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解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，

则

注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0. 无穷大量和无穷小量 无穷大量

我们先来看一个例子：

已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为

此我们可定义如下：设有函数y=的数)，总可找到正数δ，当

时，

，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大

成立，则称函数当时为无穷大量。

记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）

无限趋大的定义：设有函数y=

，当x充分大时有定义，

同样我们可以给出当x→∞时，

对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函

数当x→∞时是无穷大量，记为：

无穷小量

以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数

，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对

于适合不等式数

当

(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函

(或x→∞)时 为无穷小量.

记作：(或)

注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互

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为倒数关系的.

关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数

在

(或x→∞)时有极限A，则差

是当

(或

x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。

定理二：无穷小量的有利运算定理

a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.

无穷小量的比较

通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。

定义：设α，β都是

时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，

a)：如果b)：如果

，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；

，则称α和β是同阶无穷小；

c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)

例：因为因为因为

等价无穷小的性质

，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小； ，所以当x→0时，x是3x的高阶无穷小； ，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。

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设，且存在，则.

注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。

例题：1.求

解答：当x→0时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：

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