2020年中考数学二轮复习题型突破3新解题方法型

中考 2020

143－26＝117 117－26＝91 91－26＝65 65－26＝39 39－26＝13 26－13＝13

所以，26与143的最大公约数是13.综上所述，78、104、143的最大公约数是13. 例2、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究：求不等式|x－1|< 2的解集 (1)探究|x－1|的几何意义

【解答】如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x－1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x－1|，可记为A′O＝|x－1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离

AB.

第2题图

(2)求方程|x－1|＝2的解

【解答】因为数轴上3和－1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，－1.

(3)求不等式|x－1|<2的解集

因为|x－1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．

请在图②的数轴上表示|x－1|<2的解集，并写出这个解集． 【解答】 解：在数轴上表示如解图所示．

第2题解图

中考 2020

所以，不等式的|x－1|<2的解集为－1

例3、古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x＋ax＝b(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．

(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长．

(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．

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a2a2

第3题图

【解答】解：(1)∵∠C＝90°，BC＝，AC＝b， ∴AB＝∴AD＝

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a2ab＋，

4

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aab＋－＝

42

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4b＋a－a

； 2(2)用求根公式求得： －4b＋a－ax1＝；

24b＋a－ax2＝

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故AD的长就是方程的正根，

遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．

例4、请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．

引例：设a，b，c为非负实数，求证：a＋b＋b＋c＋c＋a≥2(a＋b＋c)， 分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究．

解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c， 则AB＝a＋b，BC＝b＋c，CD＝a＋c，

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中考 2020

显然AB＋BC＋CD≥AD，

∴a＋b＋b＋c＋c＋a≥2(a＋b＋c)．

探究一：已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求x＋4＋y＋9的最小值(图②仅供参考)；

探究二：若a，b为正数，求以a＋b，4a＋b，a＋4b为边的三角形的面积．

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第4题图

【解答】解：探究一：如解图①，构造矩形AECF，并设矩形的两边长分别为12，5，

第4题解图①

则x＋y＝12，AB＝x＋4，

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BC＝y2＋9，

显然AB＋BC≥AC，

当A，B，C三点共线时，AB＋BC最小， 即x＋4＋y＋9的最小值为AC， ∵AC＝12＋5＝13，

∴x＋4＋y＋9的最小值为13；

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第4题解图②

探究二：如解图②，设矩形ABCD的两边长分别为2a，2b，E，F分别为AB，AD的中点， 则CF＝4a＋b，CE＝a＋4b，

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EF＝a2＋b2，

设以a＋b，4a＋b，a＋4b为边的三角形的面积为S△CEF， ∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△CDF－S△AEF－S△BCE 111

＝4ab－×2a×b－ab－a×2b 222

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