（全国通用版）2019高考数学二轮复习 中档大题规范练（五）坐标系与参数方程 文

(五)坐标系与参数方程

1．(2018·钦州模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－3,0)，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ－2ρcos θ－3＝0.

(1)若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围； (2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．

解 (1)将曲线C的极坐标方程ρ－2ρcos θ－3＝0化为直角坐标方程为x＋y－2x－3＝0，

??x＝－3＋tcos α，直线l的参数方程为?

?y＝tsin α?

2

2

2

2

(t为参数)，

将参数方程代入x＋y－2x－3＝0， 整理得t－8tcos α＋12＝0. ∵直线l与曲线C有公共点， ∴Δ＝64cosα－48≥0， ∴

33

≤cos α≤1或－1≤cos α≤－，∵α∈[0，π)， 22

2

2

22

?π??5π?∴α的取值范围是?0，?∪?，π?.

6??6??

(2)曲线C的方程x＋y－2x－3＝0 可化为(x－1)＋y＝4，

??x＝1＋2cos θ，

其参数方程为?

?y＝2sin θ?

2

22

2

(θ为参数)，

∵M(x，y)为曲线上任意一点，

π??∴x＋y＝1＋2cos θ＋2sin θ＝1＋22sin?θ＋?，

4??∴x＋y的取值范围是[1－22，1＋22]．

2．(2018·安徽省“皖江八校”联考)在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝0，圆C2：(x－1)＋(y－1－2)＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C1与C2的交点为A，C2与C3的交点为B，求

4△OAB的面积．

解 (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

1

2

2

所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝0， π

即θ＝(ρ∈R)，

2

C2的极坐标方程为

ρ－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0. π??π??(2)设A?ρ1，?，B?ρ2，?， 2??4??

π2

将θ＝代入ρ－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，

2得ρ－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0， 解得ρ1＝1＋2.

π2

将θ＝代入ρ－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，

4得ρ－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0， 解得ρ2＝1＋2.

1π322

故△OAB的面积为×(1＋2)×sin ＝1＋.

244

3．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知曲线C1的参数方程为

??x＝－1＋tcos α，

?

?y＝3＋tsin α?

222

(t为参数，0≤α<π)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建

π??立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝22sin?θ＋?.

4??

π??(1)若极坐标为?2，?的点A在曲线C1上，求曲线C1与曲线C2的交点坐标；

4??(2)若点P的坐标为(－1,3)，且曲线C1与曲线C2交于B，D两点，求|PB|·|PD|. π??解 (1)点?2，?对应的直角坐标为(1,1)， 4??

由曲线C1的参数方程知，曲线C1是过点(－1,3)的直线， 故曲线C1的方程为x＋y－2＝0. π??而曲线C2：ρ＝22sin?θ＋?可化为

4??ρ＝2ρ(sin θ＋cos θ)，

得直角坐标方程为x＋y－2x－2y＝0.

??x＋y－2x－2y＝0，

联立?

?x＋y－2＝0，?

2

2

2

2

2

2

??x＝2，解得?

?y＝0?

??x＝0，

或?

?y＝2.?

故交点坐标分别为(2,0)，(0,2)． (2)由判断知P在直线C1上，

??x＝－1＋tcos α，

将?

?y＝3＋tsin α?

代入方程x＋y－2x－2y＝0，得

22

t2－4(cos α－sin α)t＋6＝0，

设点B，D对应的参数分别为t1，t2， 则|PB|＝|t1|，|PD|＝|t2|，又t1t2＝6， 所以|PB|·|PD|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝6.

4．(2018·辽宁省重点高中协作体模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x25

?x＝

?5t，

轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为?

5

y＝2＋t??5曲线C的极坐标方程为ρcosθ＝8sin θ.

(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线l 与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|. 解 (1)因为ρcosθ＝8sin θ， 所以ρcosθ＝8ρsin θ， 即x＝8y，

所以曲线C表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y轴的抛物线． (2)直线l过抛物线的焦点(0,2)， 25

?x＝?5t，

且参数方程为?

5

y＝2＋t??5

2

2

2

2

2

(t为参数)，

2

(t 为参数)，

代入曲线C的直角坐标方程， 得t－25t－20＝0， 所以t1＋t2＝25，t1t2＝－20. 所以|MN|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?－4t1t2 ＝20＋80＝10.

5．(2018·宁夏回族自治区银川一中模拟)在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为

2

3

??x＝－1＋cos t，?

?y＝sin t?

(t为参数)，圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C1C2|＝3，

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C1和圆C2的极坐标方程；

(2)过点O的直线l1，l2与圆C2异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C1异于点O的交点分别为点C和点B，且l1⊥l2.求四边形ABCD面积的最大值． 解 (1)由圆C??

x＝－1＋cos t，1的参数方程?

??y＝sin t

(t为参数)，

得圆C2

2

1：(x＋1)＋y＝1，故C1(－1,0)，r1＝1. 又圆C2与圆C1外切于原点O， 且两圆圆心的距离|C1C2|＝3， 所以C2(2,0)，r2＝2，

故圆C2

2

2的方程为(x－2)＋y＝4.

所以由???

x＝ρcos θ，??

y＝ρsin θ，

得

圆C1的极坐标方程为ρ＝－2cos θ， 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)由已知设A(ρ1，θ)， 由l1⊥l2 可得，B??π?

ρ2，θ＋2???，

C(ρ3，θ＋π)，D??ρ3?

4，θ＋2π???

.

?ρ1＝4cos θ，

?ρ2＝－2cos??θ＋π2??由(1)得??

?＝2sin θ，

?ρ3＝－2cos?θ＋π?＝2cos θ，

?ρ4

＝4cos???θ＋32π???

＝4sin θ，

所以S＝1

四边形ABCD2|AC|·|BD|

＝1

2(ρ1＋ρ3)(ρ2＋ρ4) ＝18sin θcos θ＝9sin 2θ. 所以当sin 2θ＝1，即θ＝

π

4

时，S四边形ABCD有最大值9. 4

5