(整理)大学物理授课教案 第三章 动量守恒和能量守恒定律.

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第三章 动量守恒和能量守恒定律

§1-1质点和质点系的动量定理

一、质点的动量定理 1、动量

质点的质量m与其速度v?的乘积称为质点的动量，记为?P?P。

?mv? 说明：⑴P?是矢量，方向与v?相同

⑵P?是瞬时量 ⑶P?是相对量

⑷坐标和动量是描述物体状态的参量

2、冲量

牛顿第二定律原始形式

F??d(mv?)

由此有F?dtdt?d(mv?)

积分： ?t?2?p2???tFdt???pdP?p12?p1 1定义：?t2tF?dt称为在tF?1?t2时间内力对质点的冲量。

1记为 I???t2?tFdt 1说明：⑴I?⑵I?是矢量

⑶I?是过程量 是力对时间的积累效应 ⑷I?的分量式 ?I?t2?xFdt??t1x?I?y??t2tFydt 1??It2z??tF1zdt精品文档

3-1）3-2）（3-3）（

（

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?F(t?t)?t2Fdt?t1x?x21t2?∵ ?Fy(t2?t1)??tFydt （3-4）

1?t2?Fz(t2?t1)??Fzdtt1??Ix?Fx(t2?t1)?∴分量式（3—4）可写成 ?Iy?Fy(t2?t1) （3-5）

?I?F(t?t)z21?z

Fx 、Fy、Fz是在t1?t2时间内Fx、Fy、Fz平均值。

3、质点的动量定理

???由上知 I?p2?p1 （3-6）

结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。

???说明：⑴I与p2?p1同方向

?Ix?p2x?p1x?⑵分量式?Iy?p2y?p1y （3-7）

?I?p?p2z1z?z⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化 ⑷成立条件：惯性系 ⑸动量原理对碰撞问题很有用

二、质点系的动量定理

概念：系统：指一组质点

内力：系统内质点间作用力

外力：系统外物体对系统内质点作用力

?设系统含n个质点，第i个质点的质量和速度分别为mi、vi，对于第i个质点受合内??力为Fi内，受合外力为Fi外，由牛顿第二定律有

???d(mivi)Fi外?Fi内?

dt对上式求和，有

?n?n?nd(mivi)dn?F?F??(mv????ii) i外i内dtdti?1i?1i?1i?1?因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故F合内力?0，

?d?有 F合外力?P （3-8）

dt结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。 式（3-8）可表示如下

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??p2???Fdt?dP?p?p?21 （3-9） ?t1合外力?p1???即 I合外力冲量?p2?p1 （3-10）

t2结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。

例3-1：质量为m的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间?t，打击前铁锤速

率为v，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？

解：设竖直向下为正，由动量定理知：

F?t?0?mv

mv ?F??t强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量

例3-2：一物体受合力为F?2t（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5

秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？

解：设物体沿+x方向运动，

??55I1??Fdt??2tdt?25N·I1沿i方向） S（00?1010?I2??Fdt??2tdt?75N·S（I2沿i方向）

55?I2/I1?3

∵?∴

?I2?(?p)2

?I1?(?p)1(?p)2?3 (?p)1例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为m?0.020kg，

速率v?5m/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回 时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法 线夹角都为??60 °，

?⑴求碰撞过程中小球受到的冲量I??

oA?1????2（平移）????2??1Bx??解：⑴I??

⑵设碰撞时间为?t?0.05s，求碰撞过程中

?小球 受到的平均冲力F??

?2y????如图3-1所取坐标，动量定理为I?mv2?mv1

图 3-1〈方法一〉用分量方程解

?Ix?mv2x?mv1x?mvcos??(?mvcos?)?2mvcos? ?I?mv?mv?mvsin??mvsin??0y2y1y?精品文档

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??????I?Ixi?2mvcos?i?2?0.020?5?cos60?i?0.10iN·S

〈方法二〉用矢量图解

?????I?mv2?mv1?m(v2?v1)

??(v2?v1)如上图3-1所示。

∵?OBA???60?,∴?A?60?

故?OAB为等边三角形。

??????v2?v1?v?5m/s,(v2?v1)沿i方向

???∴I?mv2?v1?0.020?5?0.10N·S，沿i方向。 ??⑵I?F?t

?????F?I/?t?0.10i/0.05?2iN

???t2??注意：此题按I??Fdt求I困难（或求不出来）时，用公式I??p求方便。

t1§3-2动量守恒定律

由式（3-8）知，当系统受合外力为零时

?dp?0 (3-11) dt即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。

?说明：⑴动量守恒条件：F合外力?0，惯性系。

⑵动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。 ⑶内力能改变系统动能而不能改变系统动量。 ??⑷F合外力?0时，若F合外力在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。

??⑸动量守恒是指p?常矢量（不随时间变化），∴此时要求F合外力?0。 ⑹动量守恒是自然界的普遍规律之一。

例3-4：如图3-2，质量为m的水银球，竖直地落到

光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，

??沿桌面运动。其中两等份的速度分别为v1、v2，

?mv33大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第 三等份的速度。

解：〈方法一〉用分量式法解

研究对象：小球

受力情况：m只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平 方向不受力，故水平方向动量守恒。

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y?m1v1?o?x?m2v2图 3-2