第四章 线性方程组

?x1?x3?1?2x2?x4?2x5 ?x3??x4?5x5.?

令x2?k,x4?s,x5?t(k,s,t为任意常数).得原方程组的一般解:

x1?1?k?3t,

x2?k,

x3??s?5t, x4?s,

x5?t.

从这个例子我们看到,在与A等价的矩阵B中,二阶子式

1211?0, ?0. 0011因此,除x1,x2及x3,x4不能取为基本未知量外,其余任意两个未知量都可作为基本未知量.这样自由未知量也就随之有不同的选取情况.而无论选取哪一组自由未知量,都可求得原方程组的

一般解.

习 题

1. 用消元法解下列方程组

?5x1?x2?2x3?x4?7?(i)?2x1?x2?4x3?2x4?1 ?x?3x?6x?5x?0;234?1?x1?x2?x3?x4?1?(ii)?x1?x2?x3?x4?0 ?2x?2x?4x?4x??1.234?12. ?为何值时,下列方程组有唯一解,无解,有无穷多个解.有解时,求出其解.

??x1?x2?x3?1? ?x1??x2?x3?1

?x?x??x?1.23?13. 证明:若线性方程组

?a11x1???a1nxn?b1????????? ?ax???ax?bnnnn?n11??an?1,1x1???an?1,nxn?bn?1有解,则行列式

a11?

an1an?1,1

?a1n???ann?an?1,nb1??0. bnbn?15

4.2 齐次线性方程组的基础解系

在上一节中,我们给出了解一般线性方程组的方法,并且回答了线性方程组在什么情况下有解,以及有解时有多少个解的问题.在有无穷多个解的情况下,解的表示形式,并没有从解向量的角度来表达所谓解的结构问题.为此,我们先来讨论齐次线性方程组的解.

齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?0 (1) ???????????am1x1?am2x2???amnxn?0的矩阵表示式为

AX?0,

其中A?(aij)mn为(1)的系数矩阵,X?(x1,x2,?,xn)T ,0?(0,0,?,0).

显然，对于(1), 秩(A)= 秩(A),所以(1)总有解.其中零解称为(1)的当然解(平凡解).若除零解外,(1)还有其它解,则称为(1)的非零解.

定理4.2.1 齐次线性方程组(1)有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩小于未知量的个数n.

证 设?1,?2,?,?n为A的列向量,记A?(?1,?2,??n). 若(1)有非零解k1,k2,?,kn,那么,

Tk1?1?k2?2???kn?n?0.

由于ki不全为零,因而?1,?2,?,?n线性相关,故秩(A)

反之,若秩(A)

c1?1?c2?2???cn?n?0.

即(1)有非零解.

由定理4.2.1容易得出

推论1 齐次线性方程组(1)中,若方程个数小于未知量的个数,则方程组(1)有非零解. 推论2 n个方程n个未知量的齐次线性方程组,若它的系数行列式等于零,则它一定有非零解.

由推论2,结合定理2.4.1则有

定理4.2.2 n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零.

下面讨论齐次线性方程组的解的结构问题.

对齐次线性方程组(1),设秩(A)?r?n.A经初等行变换及第一类列变换化为

?Er??0?与它相应的齐次线性方程组是

Cr,n?r??. ?0?6

?xi1?x?i2???xir??c1,r?1xir?1???c1,nxin?0?c2,r?1xir?1???c2,nxin?0 (2)

????????cr,r?1xir?1???cr,nxin?0,取xir?1,?,xin为自由未知量,并移至方程右边,(2)化为

?xi1??c1,r?1xir?1???c1,nxin?x??cx???cx?i22,r?1ir?12,nin (3) ???????????xir??cr,r?1xir?1???cr,nxin.对xir?1,?,xin分别取值(1,0,?，0); (0,1,0,?,0); ?; (0, ?,0,1),将这n?r组值分别代入(3) ,得(3)的n?r个解:

??c1,r?1???c1,r?2???c1,n??????????????????c???c???c?r,r?1r,r?2?????r,n??1??0??0?, . ?1????,??,??2n?r??????0??1??0??0??0????????????0???????0??0??1???????(4)

记B???1,?2,?,?n?r?,B为n行n?r列矩阵,秩(B)≤n?r.因B中有非零的n?r阶子式En?r,由定理3.4.5, 秩(B)=n?r.因而B的列秩是n?r.故向量组?1,?2,?,?n?r线性无关.

又设d1,d2,?,dn是(3)的任一个解(当然也是(1)的解),则有 d1??c1,r?1dr?1???c1,ndn, ??????? dr??cr,r?1dr?1???cr,ndn, dr?1?1?dr?1, ????? dn?1?dn. 即有

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?d1???????d??r??dr?1?1???dn?n?r, ?dr?1???????d??n?这说明(1)的任一个解都可以由?1,?,?n?r线性表出.

定义1 设?1,?2,?,?r是齐次线性方程组(1)的r个解向量,如果 (i)

?1,?2,?,?r线性无关;

(ii) (1) 的任意一个解都可经?1,?2,?,?r线性表出, 那么,称?1,?2,?,?r是(1)的一个基础解系.

设T={?|A??0,?为列向量}，即T是AX?0的解集.??,??T,容易得出

????T,k??T.因此若AX?0有非零解,便有无穷多个解,而这无穷个解中的每一个解都

可表成它的一个基础解系的线性组合.这样T?{k1?1???kn?r?n?r|ki为任意常数},其中

?1,?,?n?r是AX?0的基础解系.

综上所述,求齐次线性方程组AX?0的基础解系的步骤是:先将A施行初等行变换化为阶梯形矩阵,从而确定A的秩;在阶梯形矩阵中找一个最高阶的非零子式,它的列对应的未知量为基本未知量,而将其余未知量选为自由未知量,自由未知量的个数为n?r(n是方程组未知量的个数,r为A的秩);最后给每组自由未知量赋值,一般取(n?r)元单位向量(当然也可取其它一组线性无关的向量),代入即可求得一个基础解系.

例 1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系:

?x1??x1?3x?1?x2?x2?x2?5x3?2x3?8x3?x4?3x4?x4?0?0?0.

解 方程组的系数矩阵

?1?15?1???A??11?23?.

?3?181???A经初等行变换化为

?1?15?1????02?74??B. ?0000???与B相应的齐次方程组是

?x1??由秩(A)?2,而

?x22x2?5x3?7x3?x4?4x4?0?0.

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