第四章 线性方程组

第四章 线性方程组

对于解线性方程组，早在二千多年前，中国古代的数学著作《九章算术》中就有了比较完整的论述，其基本思想是“消元”.在西方，17世纪莱布尼茨开创对线性方程组的研究，直至19世纪，由史密斯和道奇森等数学家奠定了线性方程组有解判定等现代理论.

我们知道，在现实中,大量的科学技术问题往往最终归结为解线性方程组,所以线性方程组的应用是十分广泛的,它已成为计算数学的一个重要内容.本教材后面各章诸多内容,如向量空间中基变换、坐标变换、求线性变换的特征向量、二次型理论等，均用到线性方程组理论.

本章我们将用矩阵理论来讨论一般线性方程组的如下几个问题:如何解线性方程组?线性方程组在什么情况下有解?有解时,有多少个解?有无穷多个解时,这些解如何表示?这些内容是线性方程组的核心理论,也是本章的重点.

本章的讨论均在数域F上进行.

4.1 消元法

含m个方程、n个未知量的线性方程组表为

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 (1) ???????????am1x1?am2x2???amnxn?bm,其中aij称第i个方程中xj的系数,bi为第i个方程的常数.(1)的系数作成的m?n矩阵

?a11??aA??21???a?m1称为(1)的系数矩阵.设

a12a22?am2?a1n???a2n?,

?????amn???b1????b?B??2?,

????b??m??x1????x2? X???,

????x??n?则(1)可表为

AX?B. (2)

(2)称为(1)的矩阵表示式.若设A的列向量为?1,?2,?,?n,

1

?b1????b????2?,

????b??m?那么(1)又可表为

x1?1?x2?2???xn?n??. 称(3)为(1)的向量表示式.

一个线性方程组的未知量用什么字母表示是无关紧要的. (1)在省略未知量符号,运算符号和等号后所得的一张表

(3)

?a11??a21 A?????a?m1a12a22??a1n?a2n??am2?amnb1??b2?, ???bm??称为(1)的增广矩阵.线性方程组与它的增广矩阵相互对应.

若n元有序数组c1,c2,?,cn满足(1)中每一个方程,则称它为(1)的一个解.

??(c1,c2,?,cn)称为(1)的一个解向量,在(2)中用列向量的形式来表示. 求(1)的解或判定(1)无

解的过程,称为解线性方程组. (1)的所有解构成的集,称为(1)的解集.两个方程组如果有相同的解集,那么称这两个方程组同解.

定义1 以下变换称为线性方程组的初等变换: 1) 交换两个方程的位置;

2) 将一个非零数乘某一个方程的两边;

3) 用一个数乘一个方程两边对应加到另一个方程两边.

通过方程组的初等变换,将一个方程组变为另一个新的方程组.容易验证,方程组的初等变换保持方程组的同解性不变.方程组的三种初等变换,实际上对应方程组的增广矩阵A的三类初等行变换.于是,解方程组便可在A上来实现.

定理4.1.1 对(1)的增广矩阵A施行初等行变换,必要时,对它的前n列施行第一类列初等变换,则A可化为

?10?0c1,r?1??01?0c2,r?1????????00?1cr,r?1?00?00????????0?00?0仿定理3.4.3证明方法.略.

(4)即为一个阶梯形矩阵.

2

?c1,n?c2,n?????0?0?cr,nd1??d2????dr?. (4) dr?1?????dm?与(4)相应的方程组为

?xi1?x?i2?????????c1,r?1xir?1???c1,nxin?d1?c2,r?1xir?1???c2,nxin?d2???????xir?cr,r?1xir?1???cr,nxin?dr (5)

0?dr?1??0?dm.在(5)中,1°若r?m,而dr?1,?,dm中只要有一个不为零,那么(5)无解,因而(1)无解.

2°若r?m,或r?m且dr?1???dm?0, (5)化为

?c1,r?1xir?1???c1,nxin?d1?xi1?x?i2?c2,r?1xir?1???c2,nxin?d2 (6) ??????????xir?cr,r?1xir?1???cr,nxin?dr.?(6)中这r个方程称有效方程.

当r?n时,(6)有唯一解:xik?dk,k?1,2,?,n.它也是(1)的唯一解. 当r?n 时,将(6)改写为

?xi1?d1?c1,r?1xir?1???c1,nxin?x?d?cx???cx?i222,r?1ir?12,nin (7) ???????????xir?dr?cr,r?1xir?1???cr,nxin.此时，称xir?1,?,xin为自由未知量.令xit?kit.t?r?1,?,n,得(7)的一个解:

?xi1?d1?c1,r?1kir?1???c1,nkin?x?d?ck???ck22,r?1ir?12,nin?i2??????????xir?dr?cr,r?1kir?1???cr,nkin (8) ?x?kir?1?ir?1????x?k(kir?1,?,kin为任意常数). in?in称(8)为方程组(1)的一般解.

上述解方程组的方法一般称为消元法.

由(4)看出,秩(A)=r,而当dr?1,?,dm有一个不为零时，秩(A)=r+1,于是导致(1)无解.下面我们用线性相关性理论给出方程组(1)的有解判定.

定理4.1.2 线性方程组(1)有解的充分必要条件是: 秩(A)= 秩(A).

证 由(1)的向量表示式(3),记A?(?1,?2,?,?n),A?(?1,?2,?,?n,?),设(c1,c2,?,cn) 是(3)的一个解,即有

3

c1?1?c2?2???cn?n??,

这表明?可经?1,?2,?,?n线性表出.这样,A的列向量可经A的列向量线性表出.显然A的列向量可由A的列向量线性表出.于是?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n,?等价,因而它们等秩,即秩(A)= 秩(A).

反之,设秩(A)= 秩(A)?r.?i1,?i2,?,?ir是A的列向量组的极大无关组,当然它也是A的列向量组的极大无关组.由向量组与它的极大无关组等价及等价的传递性知,

?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n,?等价.于是?可经?1,?2,?,?n线性表出,即有一组数k1,k2,?,kn,使得

k1?1?k2?2???kn?n??.

说明k1,k2,?,kn是(3)的一个解,即(1)有解.

若(1)有解,当秩(A)?r?n时(此时有效方程是n个),由Cramer法则,(1)有唯一解.当r?n时,则方程组有r个有效方程,因而存在n?r个自由未知量,由它们取值的任意性知，(1)有无穷多个解.

例 用消元法解线性方程组

?x1?2x2?x3?x4?2x5?1??2x1?4x2?x3?x4?x5?2 ?3x?6x?2x?2x?x?3.2345?1解 方程组的增广矩阵

?121121???A=?2411?12?.

?362213???

121??121??A??????00?1?1?50?

?00?1?1?50????121121?(3)?(2)??(2)?(?1)??????001150??B.

?000000???(2)?(1)?2(3)?(1)?3易知,秩(A)= 秩(A) = 2,原方程组有解.

与B相应的方程组为

?x1?2x2?x3?x4?2x5?1 ?x3?x4?5x5?0.?由x1,x3的系数构成的行列式

1101?0,

于是以x1,x3作为基本求知量,而取x2,x4,x5为自由未知量,并移至方程右边,得

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