概率论与数理统计提高习题答案

第一章概率论的基本概念

一、有关事件的关系与运算的问题

1.在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的.在使用过程中,要有两个温控器显示的

温度不低于临界温度t0,电炉就断电.以E表示事件”电炉断电”,而T(1)6T(2)6T(3)6T(4) 器显示的按递增顺序排列温度值,则事件E等于

(A){T(1)>t0};

(B){T(2)>t0};

(C){T(3)>t0};

为四个温控

【】

(D){T(4)>t0}.

解选Ｃ.选项Ｃ表示有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0.于是电炉断电.故选Ｃ.

2.设A,B,C为三个事件,则事件“A,B,C不多于一个发生”的逆事件是

A B C AB BC AC ABC

【】

ABC

解事件“A,B,C不多于一个发生”就是“A,B,C至多有一个发生”,其逆事件是“A,B,C至少有 两个发生”.故选B.选项A表示的三个事件中至少有一个发生；选项C表示的是三个事件同时发生；选 项D表示的是三个事件都不发生.

3.对于任意二事件A和B,与A B=B不等价的是 A?B B?A

AB=?

AB=?

【】

解选D．A, B, C都是A B = B成立的充要条件,另一方面AB = B?AB = B?A,所以在条 件A B=B下,B?A=?一般不成立,故选D.

二、概率的性质的应用

4.设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则

(A)P(C)6P(A)+P(B)?1； (C)P(C)=P(AB);

(B)P(C)>P(A)+P(B)?1； (D)P(C)=P(A∪B).

【】

解选B.若当事件A与B同时发生时，事件C必发生,则必有AB?C.于是必有

P(C)>P(AB)=P(A)+P(B)?P(A∪B)>P(A)+P(B)?1.

5*.已知随机事件A的概率为P(A) = 0.5,随机事件B的概率为P(B) = 0.6及条件概率P(B|A ) =

. 0.8,则和事件A B的概率P(A B )=

解根据概率的乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×0.8=0.4.于是由概率的加法公式得

P(A B)=P(A)+P(B)?P(AB)=0.5+0.6?0.4=0.7.

6*.已知P(A)=P(B)=P(C)= 14,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)= 16,则事件A,B,C全不发生的

概率为 .

解(1)填127 .因为ABC ?AB,所以P(ABC)6P(AB)=0,于是P(ABC)=0.所以有

3 1 = 125

.

4 ? 3

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC )=

于是事件A,B,C全不发生的概率为P(ABC)=1?P(A∪B∪C)=1?125 = 127 .

7*.设随机事件A,B及其和事件A B的概率分别为0.4、0.3和0.6,若B表示事件B的对立事件,那

么积事件AB的概率P(AB )=

.

解首先P(AB)=P(A)+P(B)?P(A∪B)=0.4+0.3?0.6=0.1,于是

1

第一章概率论的基本概念

P(AB)=P(A?AB)=P(A)?P(AB)=0.4?0.1=0.3.

8*.已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B )=

.

2

解(1)填1?p.因为P(AB)=P(AB)=1?P(A∪B)=1?P(A)?P(B)+P(AB).于是1?P(A)?

P(B)=0.所以P(B)=1?P(A)=1?p.

三、古典概型的概率计算

9.将C、C、E、E、I、N、S等七个字母随机地排成一行，那么排成英文单词 SCIENCE的概率 为

.

1 将C、C、E、E、I、N、S等七个字母随机地排成一行,共有 7!种排列方法,排成英文 解填1260.

2!2!

单词SCIENCE的排列方法仅有一种，所以所求的概率为 出的是次品的概率为

2!2! 1

= . 7! 1260

10*.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不放回,则第二次抽

.

解填1/6.总的取法有12×11=132种.若第二取出的是次品,则第二次取出的有可能是2个次品 中的任何一个,而第一次取出的有可能是另外11个中的任何一个,所以第二次取出的产品是次品的取 法有22种,于是所求的概率为p=22/132=1/6.

11*.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后 不放回,则第二个人取得黄球的概率是

.

解填2/5.两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则共有50×49种取法,而第二人取得黄球 的取法为49×20种,于是所求的概率为

p= 5049××2049 . = 25

四、条件概率公式的应用

12.假设事件A和B满足P(A|B)=1，则 (A) A是必然事件；

(C)A?B;

解选B.由P(A|B)= PP((ABB))和P(A|B)(B)P(B|A)=0； =1可得P(AB)=P(B).于是

P(B?AB) = P(B)?P(AB) =0. P(B|A)= P(AB) =

P(A) P(A)

P(A)

(D)A?B.

【】

可以举例说明其它三个选项都不对.

13.已知0

(B)P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)；

(A)P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)；

(D)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).

(C)P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)；

【】

解选B.用条件概率公式将P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)化为

P(A1B+A2B) = P(A1B)+P(A2B).

P(B) P(B) P(B)

上式去掉分母得P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B).故选B.

14*.设A、B是两个随机变量,且00,P(B|A)=P(B|A),则必有 (A)P(A|B)=P(A|B)； (C)P(AB)=P(A)P(B)；

(B)P(A|B)=P(A|B)； (D)P(AB)=P(A)P(B).

【】

第一章概率论的基本概念

解选C.因为AB=B?AB,所以P(AB)=P(B)?P(AB),再由条件概率公式和已知条件P(B|A )=

P(B|A)得

P(AB) = P(AB) = P(B)?P(AB) P(A)

P(A) 于是有P(AB)?P(AB)P(A)=P(A)P(B)?P(A)P(AB)于是有P(AB)=P(A)P(B)故选C.

15*.设A,B为随机事件,且P(B)>0,P(A|B)=1,则必有 1?P(A)

(A)P(A∪B)>P(A); (C)P(A∪B)=P(A);

(B)P(A∪B)>P(B); (D)P(A∪B)=P(B).

P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=P(A).

3

【】

解选C.由概率的乘法公式得P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B),于是 故选C.

16.设10件产品中有4件是不合格品,从中任取两件,已知所取两件有一件是不合格品,则另一件也

是不合格品的概率为

五、事件的独立性

.

17.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1 ={掷第一次出现正面}，A2 ={掷第二次出现正

面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件 【】

(A)A1,A2,A3相互独立; (B)A2,A3,A4相互独立;

(C)A1,A2,A3两两独立;

(D)A2,A3,A4两两独立.

解选C.三个事件相互独立，则这三个事件一定两两独立.概率不为０的两个事件，互斥和独立 不能同时成立.依此为依据可以断定选项A、选项B和选项D都不成立.可以验证，选项C中的三个事 件是两两独立的(略).

1

18*.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生

9

的概率相等，则P(A )= .

解填2/3.因为P{AB}=P{BA},P{AB}=P(A)?P(AB)以及P{BA}=P(B)?P(AB) 可得 再由 于是

P(A)?P(AB)=P(B)?P(AB)?P(A)=P(B).

P{AB}=1?P{A∪B}=1?P(A)?P(B)+P(A)P(B)=1/9得 [1?P(A)]2=1/9.

P(A)=2/3或P(A)=4/3(不合要求，舍去).故P(A)=2/3.

19*.设两两相互独立的三个事件A,B和C满足条件:ABC =?,P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已

. 知P(A∪B∪C)=9/16，则P(A )=

解填1/4.记P(A)= p.由A,B和C两两独立，得P(AB)= P(A)P(B)= p2,类似地有P(AC )= p2,P(BC)=p2,又P(ABC)=0,于是由概率的加法公式得

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)+P(ABC)

=3p?3p2=9/16.

解得p1=1/4,p2=3/4(不符合要求，舍去).故应填1/4.

20*.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被击中,则它是

甲射中的概率为

.

解设A ={甲射中}, B ={乙射中},则P(A) = 0.6,P(B) = 0.5,因为两人的射击是独立的,所 以P(A B)=P(A)+P(B)?P(AB)=P(A)+P(B)?P(A)P(B)=0.6+0.5?0.3=0.8.而P(A?B )=