一元二次方程的整数根热点问题课后练习

一元二次方程的整数根热点问题专项练习

1. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+k－2=0有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）当k为正整数，且该方程的根都是整数时，求k的值。

2. 已知关于x的一元二次方程x2?6x?k?3?0有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值。

3. 关于x的一元二次方程?m?1?x2?2mx?m?1=0有两个实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数。

4. 已知关于x的方程kx2?x?2?0 (k?0).

k（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值。

5. 关于x的方程ax2?2(a?3)x?(a?4)?0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.

一元二次方程的整数根热点问题专项练习

参考答案

1. 解：（1）∵ 原方程有两个不相等的实数根， ∴ △＞0，即22－4（k－2）＞0，∴ k＜3。 （2）∵k为正整数， ∴ k=1，k=2。

①当k=1时，△=8，此时原方程的根是无理数， ∴ k=1不合题意，舍去；

②当k=2时，原方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=－2。 ∴ k=2。 2. 解：（1）??(?6)2?4(k?3)

?36?4k?12 ??4k?24

∵原方程有两个不相等的实数根， ∴?4k?24?0. 解得 k?6.

（2）∵k?6且k为大于3的整数， ∴k?4或5.

①当k?4时，方程x2?6x?7?0的根不是整数。 ∴k?4不符合题意，舍去。

②当k?5时，方程x2?6x?8?0的根为x1?2，x2?4，均为整数。 ∴k?5符合题意。

综上所述，k的值是5。 3. 解：（1）根据题意得m≠1

△＝（–2m）2－4（m－1）（m＋1）＝4 ∴m的取值范围是m≠1； （2）x1＝

x2＝

2m?2?1

2?m?1?2m?2m?12＝=1? m?1m?12?m?1?∵方程的两个根都是正整数， ∴

2是正整数， m?1∴m－1=1或2 ∴ｍ=2或3

4. （1）证明：?k?0，

?kx2?x??0 是关于x的一元二次方程。

2k

22???(?1)?4k(?)

k?9?0。

?方程总有两个不相等的实数根。

（2）解：由求根公式，得

1?9。 2k21?x1?,x2??。

kk?方程的两个实数根都是整数，且k是整数， ?k??1或k?1。 x?5. 解：当a=0时，原方程为?6x?4?0，解得x??， 即原方程无整数解。

当a?0时，方程为一元二次方程，它至少有一个整数根， 说明判别式??4(a?3)2?4a(a?4)?4(9?2a)为完全平方式，

从而9?2a为完全平方数，因为a是整数，所以9-2a为奇数，设

9?n29?2a?n（n为正奇数），所以，a?。

2?(a?3)?n3?n2(3?n)??1???1?由求根公式得 x? 2aa9?n22,x2??1?所以x1??1?。 3?n3?n要使x1为整数，而n为正奇数，这种情形不成立；要使x2为整数，

223n可取1，从而a=4。综上所述，a的值为4。