线性代数习题册（答案） 南林 - 图文

7．设?1,?2,?3,?4,?为四维列向量，A?(?1,?2,?3,?4)，已知Ax??的通解为 ?1??1???1??1???1????????????12112??k???k??，其中??，??为对应的齐次方程组的基础解系，k,k为x??1212?2??0??1??0??1???????????11001??????????任意常数，令B?(?1,?2,?3)，试求By??的通解。

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第四章 向量组的线性相关性

练习 一

班级 学号 姓名

1．已知向量???1,1,0,?1?,????2,1,1,2?,????1,2,0,1?，试求向量??3??2???. 解：??3??2????3?1,1,0,?1??2??2,1,1,2????1,2,0,1??(6,3,?2,?6) 2．已知向量组A:?1??0,1,2,3?,?2??3,0,1,2?,?3??2,3,0,1?,

但AB:?1??2,1,1,2?,?2??0,?2,1,1?,?3??4,4,1,3?,证明B组能由A组线性表示，组不能由B组线性表示。 解： ?0?1AB???2??3?1?0?????0??0010030123?6204230121121?1510?211?25?15?34??1??40??????01???3??0031232?6?801003?64012?1?11?110?20574??4??7???9??25?304???7? 5??0?TTTTTT4??1???70??????025???5??0R(A)?3?R(AB)，所以B组能由A组线性表示。

?2?1?BA??1??2?1?0?????0??011000?2111?10044132101233012101?12??1??30??????00???1??00??1???10??????00???0??01?3?2?1110013211?1002?1?4?121201?11010?100??3?2??1?0???1? 0??0??22R(B)?2,R(BA)?3，所以A组不能由B组线性表示。

3．设?可由?1,?2,?,?m线性表示，但不能由?1,?2,?,?m?1线性表示，证明：??1,?2,?,?m?1,?线性表示，而不能由?1,?2,?,?m?1线性表示。

m可由

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4．已知?1??1,4,0,2?,?2??2,7,1,3?,?3??0,1,?1,a?,???3,10,b,4?，问： （1）a,b取何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？

（2）a,b取何值时，?可由?1,?2,?3线性表示？并写出此表达式。 解：

?1?4?A?????1,?2,?3,?????0??227133??1??1100??????0?1b???a4??002?11?101?1a3???2?b???2?TTTT

?1?0?????0??021000?10a?1??1??20??????0b?2???0??0321000?1a?10??2? 0??b?2?3（1）当a?1,b?2或a?1,b?2时，R(A)?R(A?)，?不能由?1,?2,?3线性表示。

?1?0（2）当a?1,b?2时， ?A???????0??021000?1a?103??1??20??????00???0??001000010?1??2? 0??0?R(A)?R(A?)?3，?可由?1,?2,?3线性表示，????1?2?2?0??3 ?1?0当a?1,b?2时，?A???????0??021000?1003??2????0??0??1?0??0??001002?100?1??2?， 0??0?R(A)?R(A?)?2，?可由?1,?2,?3线性表示。

??(?1?2k)?1?(2?k)?2?k??3（k?R）

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练习 二

班级 学号 姓名

1．判断向量组?1??1,1,0,0?,?2??0,1,1,0?,?3??0,0,1,1?,?4???1,0,0,1?的线性相关性。

TTTT

2．讨论向量组?1??1,1,0?,?2??1,3,?1?,?3??5,3,t?的线性相关性？即t取何值时，向量组线性无关？t又取何值时，向量组线性相关？

TTT

3．已知向量组?1,?2,?3线性无关，判断2?1?3?2,?2?3?3,?1??2??3的线性相关性。

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