第五章 正弦稳态电路分析

I? R1

L

1 ? I2+j I?1

? I1 U? ?0 R2 C I? +1 0 ? I2 (a) (b)

图5. 27 例5-10题图

解 并联部分的等效阻抗为 Zeq?R2ZC1000??j318.47???303.45??72.33???92.11?j289.13?

R2?ZC1000?j318.47总的输入阻抗为

Zi??R1?ZL??Zeq?102.11?j132.13?166.99??52.30??

???100?0?V，则各支路电流如下I??U令U?0.60?52.30? A， Zi?1?IR2??0.57?69.97? A，I?2?Zc??0.18??20.03? A IIR2?ZCR2?Zc 根据所求结果可以画出该混联电路的相量图如图5.27(b)所示。

图5.28所示为一含负阻抗变换器的正弦稳态电路，请读者自行证明当端口2-2′接

1上电感L或电容C时，则在端口1-1′将变为?L或?kC。

k ? ?I22 1 I1

? ? UNIC L或C ?UU21

1′ 2′ 图5. 28 负阻抗变换器

5.7 正弦稳态电路的电功率

5.7.1 瞬时功率(instantaneous power)

无源一端口网络N0是由电阻、电容、电感等无源元件组成的，在正弦稳态情况下，

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设端口电压、电流分别为

u?2Uco?s?t??u? i?2Ico?s?t??i?

u，i，p i u N0 0 u i p UIcosφ t

(a) (b)

图5. 29 一端口网络的功率

N0所吸收的功率

p?u?i?2UIcos??t??u?cos??t??i?

据三角公式 2co?scos??co?s????co?s????

则 p?UIcos??UIcos?2?t??u??i? (5-30)

图5.29(b)是瞬时功率的波形图。可以看出：瞬时功率有两个分量，第一个为恒定分量，第二个为正弦量，其频率为电压或电流频率的两倍。 由三角函数公式

cos?2?t??u??i??cos[?2?t?2?i????u??i?]

??u??i? ?cos2??t??i?co?s?u??i??sin2??t??i?sin代入到(5-30)式，则(5-30)可用另一种形式表示为

p?UIcos??1?cos2??t??i???UIsin?sin2??t??i? (5-31)

(5-31)式表示一端口网络所吸收的瞬时功率，式中第一项始终大于零(???)，表示一端

2口网络吸收的能量；第二项是时间的正弦函数，其值正负交替，这说明能量在外施电源

与一端口之间来回交换进行。

5.7.2 平均功率、功率因数、视在功率

瞬时功率不便于测量，且有时为正，有时为负，在工程中实际意义不大。通常引入平均功率的概念，来衡量功率的大小。

平均功率又称有功功率(active power)，是瞬时功率在一个周期?T?内的平均值，用大

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写字母P表示。

Pdef1T?pdt?10TT?UI[cos??cos(2?t??0Tu??i)]dt?UIcos? (5-32)

有功功率代表一端口网络实际消耗的功率，是(5-30)式的恒定分量，单位为瓦特(W)。它不仅与电压电流有效值的乘积有关，还与它们之间的相位差有关。定义cos?为功率因素(power factor)，并用?表示。则

??co?s (5-33) 式(5-33)中 ???u??i，称为功率因数角，对于不含独立源的网络，???z。

由此可见平均功率并不等于电压、电流有效值的乘积，而是要乘以一个小于1的系数。通常工程上用这一电压电流有效值的乘积来表示某些电气设备的容量，并称为视在功率或表观功率(apparent power)，并用S表示，即

SdefUI (5-34)

为了与平均功率相区别，视在功率直接用伏安(VA)作单位。 5.7.3 无功功率

式(5-31)中的右端第二项反映一端口与电源交换能量，其交换能量的最大速率定义为无功功率，用Q表示。

Q?UIsin? (5-35) 当电压u超前于电流i时，复阻抗为感性的，Q值代表感性无功功率。反之，复阻抗为容性时，电压u滞后于电流i，Q值代表容性无功功率。无功功率并非一端口所实际消耗的功率，而仅仅是为了衡量一端口与电源之间能量交换的快慢速度，所以单位上也应与有功功率有所区别，无功功率的单位用乏(Var，无功伏安)。 5.7.4 R、L、C单个元件的各种功率

1. 电阻元件R

因为??0，所以电阻的瞬时功率为 p?UI?1?cos2(?t??u)?。p始终大于或等于零，这说明电阻一直在吸收能量。平均功率为

PR?UI?RI2?GU2

PR表示电阻所消耗的功率。电阻的无功功率为零。

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2. 电感元件L 因为???2，所以电感的瞬时功率为 p?UIsin?sin2(?t??u)。电感的平均功率为

零，所以它不消耗能量。但是p正负交替变化，说明有能量的往返交换。电感的无功功率为

QL?UIsin??UI??LI2?2??1LI2??2??WL

???2?3. 电容元件C

因为 ????，所以电容的瞬时功率为

2p?UIsin?sin2(?t??u)??UIsin2(?t??u)

电容的平均功率为零，所以电容也不消耗能量，但p正负交替变化，说明有能量的往返交换。电容的无功功率为

QC??UIsin???UI??1I2???CU2??2?1CU2??2??WC

?C25.7.5 复功率

虽然一端口网络的瞬时功率在一般情况下是一个非正弦量，其变化的频率也与电压或电流的频率不同，因而不能用相量法计算。但是其平均功率和无功功率却可以根据电

??U??，?，压相量、电流相量来计算。设一端口网络的电压相量为U电流相量为I?，即Uu??I??，且I???I???，I??为I?的共轭复数，则在关联参考方向下有 Iii?I?*?UI?????UI[cos??jsin?]?P?jQ Uui?I?*为复功率，用S表示，即 称复数U

Sdef?I*?P?jQU (5-36)

s)2?(UIsin?)2?UI?S (5-37) 显然 S?P2?Q2?(UIco?Q?? P复功率是将正弦稳态电路的三个功率和功率因数统一为一个公式表示出来，只是一个辅助计算功率的复数量，它不代表正弦量，没有任何物理意义。复功率的概念既适用于一端口，也适用于单个元件。

argS?arctg118