2018-2019学年高中数学讲义选修2-1全册教师用书 Word版可编辑

四边形是平行四边形四边形的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)·(y－2)＝0， 而(x－1)(y－2)＝0

(x－1)2＋(y－2)2＝0，

∴p是q的充分不必要条件.

充要条件的证明 [例2] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [解] (1)必要性：

因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

c

所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝a＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.

c

(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝a＜0(x1，x2为方程的两根)． 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根， 且两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

[类题通法]

充要条件的证明思路

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

[活学活用]

11

已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：x＜y的充要条件是xy＞0.

11

证明：(1)必要性：由＜，

xyy－x11

得－＜0，即＜0， xyxy

又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0. (2)充分性：由xy＞0及x＞y， xy11得xy＞xy，即x＜y. 11

综上所述，x＜y的充要条件是xy＞0.

充分、必要条件的应用 [例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

[解] 因为p是q的充分不必要条件， 所以p?q但q?/ p，

即x|－2≤x≤10是x|1－m≤x≤1＋m的真子集，

{}{

}

???1－m＜－2，?1－m≤－2，所以?或?解得m≥9.

???1＋m≥10?1＋m＞10，

所以实数m的取值范围为{m|m≥9}. [类题通法]

应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．

[活学活用]

已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．

解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，Q?P，

??a－4≤1，所以?

??a＋4≥3，

解得－1≤a≤5.

故实数a的取值范围是[－1,5]．

1.诠释充分条件与必要条件的判断

有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．

1．定义法

定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：

y≥x－1，??

[例1] (四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足?y≥1－x，

??y≤1，则p是q的( )

A．必要不充分条件 C．充要条件 [解析]

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

p表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.

[答案] A [活学活用]

11

1．“sin α＝”是“cos 2α＝”的( )

22A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11111

解析：选A 由cos 2α＝可得sin2α＝，即sin α＝±，故sin α＝是cos 2α＝的充分

24222不必要条件．

2．等价转化法

等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：

[例2] 已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．

[解析] 綈p：x＝2且x＝3，綈q：x＋y＝5.可知綈p?綈q，而綈q?/ 綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．

[答案] 必要不充分 [活学活用]

2．“m≠3”是“|m|≠3”的________条件． 答案：必要不充分 3．集合法

集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：

[例3] 指出下列命题中p是q的什么条件． (1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2；