2018-2019学年高中数学讲义选修2-1全册教师用书 Word版可编辑

7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．

??m－1≤1，∴? ??m＋1≥2.

∴1≤m≤2. 答案：[1,2] 8．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形． 其

中

互

为

逆

命

题

的

有

________________________________________________________________________；

互

为

否

命

题

的

有

________________________________________________________________________；

互

为

逆

否

命

题

的

有

________________________________________________________________________．

(填序号)

解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．

答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤ 三、解答题

9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假． (1)等高的两个三角形是全等三角形； (2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．它是真命题． 否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．它是真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．它是假命题．

(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．它是假命题． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．它是假命题． 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．它是真命题．

10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.

因为a＜1，所以4a－7＜0.

即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真命题．

1.2充分条件与必要条件

充分条件与必要条件 [提出问题]

在物理中，我们经常遇到这样的电路图：

问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？ 提示：一定亮．

问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？

提示：不一定，还可能是C开关闭合． [导入新知]

充分条件与必要条件

命题 真假 推出 关系 条件 关系

[化解疑难]

1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”． 2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.

充要条件 [提出问题]

如图是一物理电路图．

问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？ 提示：一定闭合．

问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？

提示：p?q. [导入新知]

充要条件

如果既有p?q，又有q?p，记作p?q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件． [化解疑难]

p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．

“若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 p?q p是q的充分条件 q是p的必要条件 pq p不是q的充分条件 q不是p的必要条件

充分条件、必要条件、充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中p是q的什么条件． (1)在△ABC中，p：sin A＝sin B，q：A＝B； (2)p：x＞1，q：x2＞1；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； a

(4)p：a＜b，q：＜1.

b

[解] (1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之，若A＝B，则cos2A＝cos2B.因此，p是q的充要条件．

(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

a

(4)由于a＜b，当b＜0时，b＞1；

aa

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；

bba

当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；

ba

当a＜0，b＜0，b＜1时，可以推出a＞b. 因此p是q的既不充分也不必要条件． [类题通法]

充分、必要、充要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．

[活学活用]

指出下列各组命题中p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等

四边形是平行四边形，