2018-2019学年高中数学讲义选修2-1全册教师用书 Word版可编辑

[解] 证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．

若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)， ∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．

法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)． ∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾． 因此假设不成立，故a＋b≥0.

[类题通法]

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

[活学活用]

证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

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由于m＋n＞2，则m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2，所以m2＋n2≠2.

22故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

2.否命题理解中的误区

[典例] 将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b是增函数”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．

[解] “若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b是增函数． 否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b不是增函数． [易错防范]

1．“a＞0”的否定易误为“a＜0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学者易犯的错误．

2．在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题中，实数a可能有三种取值，分别为a＞0，a＝0，a＜0，从而a＞0的否定是a≤0.

[成功破障]

(山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.

[随堂即时演练]

1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是( ) A．若a?A，则b?B C．若b∈B，则a?A

B．若a∈A，则b?B D．若b?B，则a?A

解析：选B 命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“?”互为否定形式．

2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )

A．3 C．1

B．2 D．0

解析：选C 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝

f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．

3．命题“若x＞1，则x＞0”的逆命题是__________，逆否命题是________________． 答案：若x＞0，则x＞1 若x≤0，则x≤1

4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”； 否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”； 逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”； 全为真命题． 答案：4

5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”． (1)写出命题p的否命题； (2)判断命题p的否命题的真假．

解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”． (2)命题p的否命题是真命题． 判断如下：因为ac＜0，

所以－ac＞0?Δ＝b2－4ac＞0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c＞0有解． 所以该命题是真命题．

[课时达标检测]

一、选择题

1．命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b

解析：选D 原命题的条件是a＝－b，把它作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|＝|b|，把它作为逆命题的条件，即得逆命题“若|a|＝|b|，则a＝－b”．

2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个

数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选B 命题“若a＞－3，则a＞－6”的逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”，为假命题，则它的否命题“若a≤－3，则a≤－6”也必为假命题；它的逆否命题“若a≤－6，则a≤－3”为真命题．故真命题的个数为2.

3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整数，能被3整除

解析：选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题． 4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( ) A．互逆命题 C．互为逆否命题

B．互否命题 D．以上都不正确

解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．

5．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选B 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题； 命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题； 命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；

命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.

二、填空题

6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为______．

解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．

答案：假命题