高中数学课件 第三章 第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数

高中数学课件 第三章 第 1 节《任意角和弧度制及任

意角的三角函数

1.了解任意角的概念.

2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.任意角 (1)角的分类. 按旋转方向分为 角(2)象限角. (3)象限界角 (4)终边相同的角.

所有与角 α 终边相同的角(连同 α 在内).可构成一个集 合 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. [思考探究]

(1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？

(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于 90°的角是锐角吗？ 提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差 360°的整数倍.

(2)第一象限角不一定是锐角，如 390°，－300°都是第一象限角，但它们不 是锐角.

小于 90°的角也不一定是锐角，如 0°，－30°，都不是锐角. 2.弧度制 yx

3.任意角的三角函数正 弦余弦正切三角函数

各象限符号＋＋＋＋＋＋－－－－－－ⅠⅡⅢⅣ口诀一全正，二正弦，三 正切，四余弦三角函数线

、

、

.正角负角零

有向线段

为正弦线 MP 有向线段 610°角终边相同的角可表示为

A.k·360°＋230°，k∈Z B.k·360°＋250°，k∈Z C.k·360°＋70°，k∈Z

D.k·360°＋270°，k∈Z

为余弦线 OM 有向线段

为正切线 AT1.与

( )

解析：由于 610°＝360°＋250°，所以 610°与 250°角的终边相同.答案：B2. 已知角 α 的终边经过点( ∵sinα＝ 3.已知 cosθ ( )

A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角

B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

＝

，－1)，则角 α 的最小正值是(

)解析：

，且 α 的终边在第四象限，∴α＝答案：B

·tanθ＜0，那幺角 θ 是

解析：∵cosθ·tanθ＝sinθ＜0，cosθ≠0.

∴θ 为第三、四象限角.答案：C4.弧长为 3π，圆心角为 135°的扇形半径 为 ，面积 为 .

解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝ 由弧长公式 l＝α·r 得 r＝ 面积 S＝ 答案：4 6π

5.若 α＝k·180°＋45°，k∈Z，则 α 为第 象限角. 解析：当 k＝2n 时，α＝n·360°＋45°， 当 k＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°， ∴α 为第一或第三象限角. 答案：一或三

＝6π.

＝

， ＝4，

1.角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在 y 轴的负 半轴上的角的集合可以表 为

也可以表示为 2.

角所在象限

，

.

[特别警示] (1)利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一 个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π]范围内的一个角 α 与 2π 的整 数倍的和，然后判断角 α 的象限.

(2)角度制和弧度制不能混用，如 α＝2kπ＋30°(k∈Z)， β＝k·360°＋

(k∈Z)都是不正确的.

(1)如果 α 是第三象限的角，那幺－α，2α 的终边落在何处？ (2)写出终边在直线 y＝ (3)若角 θ 的终边与 的终边相同的角. [思路点拨]

[课堂笔记](1)由 α 是第三象限的角得 即

∴角－α 的终边在第二象限；由得 2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z). ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ ∴终边在直线 y＝ 题意

∴k＝0,1,2， 即在[0,2π)内终边与 在(1)的条件下，判断

相同的角为

为第几象限角？解：∴

为第二或第

上的角是

，

＋kπ，k∈Z}.(3)依

.

上的角的集合；

角的终边相同，求在[0,2π)内终边与

角

x 上的角的集合为{α|α＝

四象限角.

设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α(弧度)，半径为 r，则 l＝|α|·r；S 扇形＝ lr＝

|α|r2

[特别警示] 这里给出的弧长、扇形面积公式是在弧度制下的，使用时切 记将圆心角用弧度来表示.

已知一扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长 (1)若 α=60°,R=10cm，求扇形的弧长

(2)若扇形周长为 20cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这个扇形的面积最 大? [思路点拨] [课堂笔记]

(2)由题意得 l＋2R＝20， ∴l＝20－2R(0＜R＜10). ＝(10－R)·R＝－R2＋10R.

∴当且仅当 R＝5 时，S 有最大值 25.此时∴当 α＝2 rad 时，扇形面积取最 大值.

若扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，如何求 α？ 解：依题意有

①代入②得 R2－5r＋4＝0， 解之得 R＝1 或 R＝4.

当 R＝1 cm 时，l＝8 cm，此时 α＝8 rad＞2πrad，舍去； 当 R＝4 cm 时，l＝2 cm，此时 α＝

rad.

1.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. 2.对于已知三角函数式的符号判断角所在的象限，可先根 据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角