2019-2020年高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十五8.6.2直线与椭圆的综合问题理

(2)F(-2,0),当直线l的斜率不存在时,

可得P,Q当直线l的斜率存在时,

设l:y=k(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2),

,此时·=4-=;

联立y=k(x+2)与

2

2

2

+y=1,可得

2

2

(1+5k)x+20kx+20k-5=0,

所以x1+x2=-·

2

,x1x2=,

=x1x2+y1y2

2

2

=(1+k)x1x2+2k(x1+x2)+4k,

所以·=(1+k)·

2

+2k·

2

+4k=

2

=-,

因为k≥0,5k+1≥1,所以-

22

≤-<0,

从而-5≤·<,

综上可得·的取值范围是.

5.(13分)(2018·桂梧模拟)已知中心为坐标原点O,焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4,且椭圆M过点(1,

).

(1)求椭圆M的方程.

(2)若过点C(0,1)的直线l与椭圆M交于A,B两点,

=2

,求直线l的方程.

【解析】(1)设椭圆M的方程为

2

2

2

+=1(a>b>0),

因为2c=4,所以c=2,所以a-b=c=4,

又+=1,解得a=6,b=2,

22

故椭圆M的方程为+=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+1,

由得(3+k)x+2kx-5=0,

22

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,

x1x2=-因为

=2

,

,所以x1=-2x2,

所以x1+x2=-x2=-,则x2=.

又x1x2=-2=-,所以2==,

即所以k=±

=5,k=5,

.故直线l的方程为y=±

x+1.

2

【方法技巧】求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标(x,y),根据题意列出关于x,y的等式即可;②定义法,根据题意,动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把x,y分别用第三个变量表示,

消去参数即可;④逆代法,将代入f(x0,y0)=0.