农作物施肥效果分析讲义

农作物施肥效果分析

（1992年A题）

某研究所为了研究N、P、K三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的施用量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时，总是将另二种肥料固定在第7个水平上，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克，试建立反映施肥量与产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价．

施肥量与产量关系的实验数据 土豆： N 施肥量 (kg/ha) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 生菜 N 施肥量 (kg/ha) 0 28 56 产量 (t/ha) 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 P 施肥量 (kg/ha) 0 24 49 73 98 147 196 245 294 342 产量 (t/ha) 33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73 K 施肥量 (kg/ha) 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651 产量 (t/ha) 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22 产量 (t/ha) 11.02 12.70 14.56 P 施肥量 (kg/ha) 0 49 98 产量 (t/ha) 6.39 9.48 12.46 K 施肥量 (kg/ha) 0 47 93 产量 (t/ha) 15.75 16.76 16.89 84 112 168 224 280 336 392 16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11 147 196 294 391 489 587 685 14.38 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53 140 186 279 372 465 558 651 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40 一、符号说明：

W：农作物产量. x：施肥量.

N、P、K：氮、磷、钾肥的施用量. CW：农产品价格.

CN, CP, CK：氮、磷、钾肥的价格.

a,b,b0,b1,b2,c,c0,c1,c’0,c’1：常数（对特定肥料，特定农作物而言）

二、模型假设

1. 研究所的实验是在相同的正常实验条件（如充足的水分供应，正确的耕作程序）下进行的，产量的变化是由施肥量的改变引起的，产量与施肥量之间满足一定的规律。在实验中，除施肥量，其它影响因子（如环境条件、种植密度等）均处于同等水平。

2. 土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力（从数据可以看出，当各种养分的施肥量都为0时，产量并不为0）。 3. 每次实验是独立进行的，且对于N、P、K施用量来说无系统误差，模型的误差项均服从同分布的正态分布。

三、 问题分析

题目要求建立反映施肥量与产量关系的模型，显然这是一个回归分析的问题，但是什么样的回归模型能体现施肥量与产量之间的关系呢？这就需要从问题的实际背景出发来考察。

一元回归分析理论（1-17页）及其实现（25-30页）

农学规律表明，施肥量与产量一般满足这样的关系：它分成三个不同的区段，在第一区段，当施肥量比较小时，作物产量随施肥量的增加而迅速增加，第二区段，随着施肥量的增加，作物产量平缓上升，第三区段，施肥量超过一定限度后，产量反而随施肥量的增加而下降

在长期的实践中，农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律，并建立了相应的理论 1. Nicklas和Miller理论：

设h为达到最高产量时的施肥量，边际产量（即产量W对施肥量x的导数）dW/dx与(h-x)成正比例关系，即

dW/dx=a(h-x) (1)

从而 W=b0+b1x+b2x2 (2) 2. 米采利希学说：

只增加某种养分时，引起产量的增加与该种养分供应充足时达到的最高产量A与现在产量W之差成正比，即

dW/dx=c(A-W) (3)

从而 W=A（1-exp(-cx)） (4) 考虑到土壤本身的天然肥力，上式可修正为

W=A（1-exp(-cx+b)） (5)

3. 英国科学家博伊德发现，在某些情况下，将施肥对象按施肥水平分成几组，则各组的效应曲线就呈直线形式。若按水平分成二组，可以用下式表示（其中xi表示分组值）：

??c0?c1x(0?x?xi)? (6) ??c?cx(x?x?x)?1imax?0四、模型与结果

为考察氮、磷、钾三种肥料对作物的施肥效果，我们以氮、磷、钾的施用量为自变量，土豆和生菜的产量为因变量描点作散点图（见图1，图2）。

图1 土豆产量和三种肥料施肥量之间的散点图