[新]2019高中数学第二讲参数方程圆锥曲线的参数方程练习选修444

因为SOAPB=S△APB+S△AOB,其中S△AOB为定值,所以只需S△APB最大即可.又AB为定长,故只需点P到AB所在直线的距离最大即可.直线AB的方程为2x+3y-6=0,点P到直线AB的距离为

d=.

所以当θ=时,d取最大值,从而SOAPB取最大值,这时点P的坐标为

B组

.

1.曲线C:(φ为参数)的离心率为( )

A. B. C. D.

解析由题设得曲线C的普通方程为

所以a=9,b=5,c=4. 因此e=答案A 2

2

2

=1,

.

2.当θ取一切实数时,连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ,6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( ) A.圆

B.椭圆

C.直线

D.线段

解析设线段AB的中点为M(x,y),由中点坐标公式,得x=2sin θ-2cos θ,y=3cos θ+3sin θ,即

=sin θ-cos θ,=sin θ+cos θ,两式平方相加,得

答案B =2,即所求中点的轨迹是椭圆.

3.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:有一个公共点在x轴上,则a= . 解析将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解.

(t为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)

∵∴消去参数t,得2x+y-3=0.

5

又∴消去参数θ,得

=1.

在方程2x+y-3=0中,令y=0,得x=.

将代入=1,得

=1.

又a>0,∴a=.

答案

4.对任意实数,直线y=x+b与椭圆(0≤θ<2π,θ为参数)恒有公共点,则b的取值范围

是 .

解析将(2cos θ,4sin θ)代入y=x+b,

得4sin θ=2cos θ+b.

①

∵直线与椭圆恒有公共点, ∴方程①有解.

令f(θ)=4sin θ-2cos θ=2

sin(θ-φ)

.

∴-2

≤f(θ)≤2,

即-2≤b≤2.

答案[-2

,2

]

5.已知圆O2

2

22

1:x+(y-2)=1上一点P与双曲线x-y=1上一点Q,求P,Q两点间距离的最小值. 解设Q(sec θ,tan θ)(θ为参数),

由题意知|O1P|+|PQ|≥|O1Q|.

|O1Q|2=sec2θ+(tan θ-2)2 =(tan2θ+1)+(tan2θ-4tan θ+4) =2tan2θ-4tan θ+5 =2(tan θ-1)2+3,

当tan θ=1时,|O2

1Q|取得最小值为3, 此时有|O1Q|min=,

6

因为|O1P|=1, 所以|PQ|min=-1.

6.已知椭圆+y=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点,求证:|OP|·|OQ|为定值.

证明设M(2cos φ,sin φ)(φ为参数),B1(0,-1),B2(0,1).

2

则MB1的方程:y+1=·x,

令y=0,则x=,

即|OP|=.

MB2的方程:y-1=x,

令y=0,则x=.

∴|OQ|=.

∴|OP|·|OQ|=故|OP|·|OQ|=4为定值.

=4.

7.导学号73574046如图,动线段PQ的一个端点Q在椭圆x+=1上运动,另一端点P2

在x轴上运动,且|PQ|=2,由此条件能否求出线段PQ的中点M的轨迹方程?若能,求出其方程;若不能,说明理由.

7

解设Q(cos θ,2sin θ),P(t,0),

则PQ的中点坐标为

2

2

因为|PQ|=2,所以(t-cos θ)+4sinθ=4, 从而(t-cos θ)=4(1-sinθ)=4cosθ,

所以t=cos θ±2cos θ,即t=3cos θ或t=-cos θ.

2

2

2

若t=3cos θ,则由得点M的轨迹方程为+y2=1.若t=-cos θ,则由

得点M的轨迹方程为x=0(-1≤y≤1).

故点M的轨迹方程为+y2=1或x=0(-1≤y≤1).

8.少?

解根据题意设点A,B的坐标分别为A(2p,2pt1),B(2p,2pt2)(t1≠t2,且t1t2≠0),则

导学号73574047如图所示,O是直角坐标系的原点,A,B是抛物线y=2px(p>0)上

2

异于原点的两个动点,且OA⊥OB于点O,求当点A,B在什么位置时,△AOB的面积最小,最小值是多

|OA|==2p|t1|,|OB|==2p|t2|.

因为OA⊥OB,所以即2p·2p=0,

+2pt1·2pt2=0,所以t1·t2=-1.

|OA|·|OB|

△AOB的面积为S△AOB= 8

=·2p|t1|·2p|t2|

=2p2|t1t2|

=2p2

=2p2≥2p2

=4p2,

当且仅当

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,即t1=1,t2=-1或t1=-1,t2=1时,等号成立.

2

所以A,B的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)或(2p,-2p),(2p,2p)时,△AOB的面积最小,最小值为4p.

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