(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案

＝43sin?

?5π－θ?，

?

?6?

π33?5π－θ?＝243sin

＝OA·OC＝×43sin θ×43sin??622?6?

∴a·c＝|a||c|cos

θ·?sin

?

?

5π5π2

cos θ－cossin θ?＝123sin θcos θ＋36sinθ＝63sin 2θ＋?66?

π?1－cos 2θ?36·＝63sin 2θ－18cos 2θ＋18＝123sin?2θ－?＋18.

3?2?ππ5π

∴当2θ－＝，即θ＝时，a·c有最大值为123＋18.

3212答案

π

123＋18 6

三、解答题

?π?13.设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.

2??

(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值. 解 (1)由|a|＝(3sin x)＋(sin x)＝4sinx， |b|＝(cos x)＋(sin x)＝1， 及|a|＝|b|，得4sinx＝1.

1π?π?又x∈?0，?，从而sin x＝，所以x＝.

2?26?(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sinx ＝

π?1311?sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋，

6?2222?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π?π?π??当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.

2?6?3??3

所以f(x)的最大值为.

2

14.△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行. (1)求A；

(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.

解 (1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝3，

13

π

由于0＜A＜π，所以A＝.

3

(2)法一 由余弦定理，得a＝b＋c－2bccos A， π2

而a＝7，b＝2，A＝，得7＝4＋c－2c，

3即c－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3， 133

故△ABC的面积为S＝bcsin A＝. 2272

法二 由正弦定理，得＝，

πsin Bsin 3从而sin B＝

21

，又由a＞b，知A＞B， 7

2

2

2

2

27

所以cos B＝，

7

?π?故sin C＝sin(A＋B)＝sin?B＋?

3??

ππ321

＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.

3314133

所以△ABC的面积为S＝absin C＝.

22

15.(2018·金华一中模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长，且C＝π

，a＋b＝λc(其中λ>1). 3

(1)若λ＝3，证明：△ABC为直角三角形； →→92

(2)若AC·BC＝λ，且c＝3，求λ的值.

8(1)证明 ∵λ＝3，∴a＋b＝3c， 由正弦定理得sin A＋sin B＝3sin C， π?2π?3∵C＝，∴sin B＋sin?－B?＝，

3?3?2即sin B＋

313

cos B＋sin B＝， 222

3333?π?∴sin B＋cos B＝，则sin?B＋?＝，

6?2222?πππ2π

从而B＋＝或B＋＝，

6363

14

解得B＝π6或B＝π

2

.

若B＝π6，则A＝π

2，△ABC为直角三角形；

若B＝π

2，△ABC亦为直角三角形.

(2)解 若→AC·→BC＝9198λ2

，则2a·b＝28λ，

∴ab＝92

4

λ.

由余弦定理知a2

＋b2

－c2

＝2abcos C， 即a2

＋b2

－ab＝c2

＝9，即(a＋b)2

－3ab＝9， 又a＋b＝3λ，故9λ2－2724λ＝9，解得λ2

＝4，又λ>1，∴λ＝2.

15