(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案

由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9. 则|b|＝（－3）＋9＝310. 答案 D

3.(2018·宁波模拟)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

2

2

p1：|a＋b|＞1θ∈?0，p2：|a＋b|＞1θ∈?

??

2π?? 3?

?2π，π?

?

?3???

π?

p3：|a－b|＞1θ∈?0，?

3

?

??p4：|a－b|＞1θ∈?，π?

?

其中的真命题是( )

A.p1，p4 B.p1，p3 C.p2，p3 D.p2，p4

解析 |a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)＞1，∴a＋2a·b＋b＞1，1a·b1?2π?即a·b＞－，∴cos θ＝＝a·b＞－，∴θ∈?0，?；若|a－b|＞1，同理求

3?2|a|·|b|2?11?π?得a·b＜，∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈?，π?，故p1，p4正确，应选A.

22?3?答案 A

4.(2014·浙江卷)记max{x，y}＝?则( )

A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C.max{|a＋b|，|a－b|}≤|a|＋|b| D.max{|a＋b|，|a－b|}≥|a|＋|b|

解析 由三角形法则知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a＋b|，|a－b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a＋b|，|a－b|}≥|a|＋|b|，故选D. 答案 D

→→→

5.(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN→→→

＝2NA，则BC·OM的值为( ) A.－15

B.－9

C.－6

D.0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π?3

?x，x≥y，?

??y，x

min{x，y}＝?

?y，x≥y，?

??x，x

设a，b为平面向量，

2 9

→→→→→|BM||BA||CN||CA||BA|→→→→

解析 由BM＝2MA，可知＝2，∴＝3，由CN＝2NA，可知＝2，∴＝3，故

→→→→→|MA||MA||NA||NA||MA|→

|CA|→→→→→→→→→＝＝3，连接MN，则BC∥MN且|BC|＝3|MN|.∴BC＝3MN＝3(ON－OM)，∴BC·OM＝3(ON－→|NA|→

OM)·OM＝3(ON·OM－OM2)＝3(|ON|·|OM|cos 120°－|OM|2)＝－6.故选C.

答案 C

6.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD→→

＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为( ) 21A. 16

3B. 2

25C. 16

D.3

→→→→→→→

解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，

B(1，0)，D?－，

?1

?23?3?→→?3

?.设C(1，m)，E(x，y)，所以DC ＝?，m－?，AD2?2??2

33?3??13??1?3

＝?－，?，因为AD⊥CD，所以?，m－?·?－，?＝0，则×(－

22??22??22??2

13?33?

)＋?m－?＝0，解得m＝3，即C(1，3).因为E在CD上，所以≤y≤3，由kCE22?22?3

23－y→→→→

＝kCD，得＝，即x＝3y－2，因为AE＝(x，y)，BE＝(x－1，y)，所以AE·BE1－x1

1＋2

3－

＝(x，y)·(x－1，y)＝x－x＋y＝(3y－2)－3y＋2＋y＝4y－53y＋6，令f(y)＝4y－53y＋6，y∈?

2

2

2

2

2

2

?3??353?2

，3?.因为函数f(y)＝4y－53y＋6在?，?上单调递减，在

8??2??2

5321?53??53?2→→

?，3?上单调递增，所以f(y)min＝4×?? －53×8＋6＝16.所以AE·BE的最小?8??8?21

值为，故选A.

16答案 A 二、填空题

7.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则

λ＝________.

1

解析 由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.

2

10

1答案

2

8.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.

（3e1－e2）·（e1＋λe2）3－λ解析 cos 60°＝＝ 2

|3e1－e2||e1＋λe2|3＋11＋λ13

＝，解之得λ＝. 23答案

3

3

→→→

9.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5 AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比值为________.

解析 设AB的中点为D，

→→→→→→→由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM， →→即3CM＝2MD.

如图所示，故C，M，D三点共线， →3→且MD＝CD，

5

也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5， 3

则△ABM与△ABC的面积比值为.

53答案

5

10.(2018·台州模拟)已知平面向量a和b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则a·b＝________，|a＋2b|＝________.

解析 ∵〈a，b〉＝60°，a＝(2，0)，|b|＝1， 1

∴a·b＝|a||b|·cos 60°＝2×1×＝1，

2又|a＋2b|＝a＋4b＋4a·b＝12， 所以|a＋2b|＝12＝23. 答案 1 23

→→→→

11.(2018·湖州联考)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，AG＝mAB＋AC，则|AG|的最小→→

值为________；又若AG⊥BC，则m＝________.

2

2

2

11

答案

13 6

π

12.(2018·杭州二中调研)已知向量a，b的夹角为，|a－b|＝6，向量c－a，c－b的夹角

32π

为，|c－a|＝23，则a与c的夹角为________，a·c的最大值为________. 3→→→→→→

解析 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则BA＝a－b，AC＝c－a，BC＝

c－b，∴AB＝6，∠BCA＝C四点共圆.

2ππ

，AC＝23，又∠AOB＝，∴A，O，B，33

ACAB23

在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝

sin∠ABCsin∠ACBsin∠ABC3

23×

21π

∴sin∠ABC＝＝，则∠ABC＝.

626

6

， 2πsin

3

ππ

由同弧所对圆周角相等，可得∠AOC＝，即a与c的夹角为.

665π

设∠OAC＝θ，则∠ACO＝－θ.

6在△AOC中，由正弦定理得： ＝＝， πsin θ5π?－θ?sinsin??6?6?

ACOCOA?5π?23sin?－θ?23sin θ?6?∴OC＝＝43sin θ，OA＝

1122

12