(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案

[考法3] 平面向量数量积的运算 【例1－3】 (1)(2017·浙江卷)

如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交

→→→→→→

于点O，记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( )

A.I1＜I2＜I3 C.I3＜I1＜I2

B.I1＜I3＜I2 D.I2＜I1＜I3

→→

(2)(2018·北京昌平区调研)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB→→

的值为________；DE·DC的最大值为________.

解析 (1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO

根据题意，I1－I2＝OA·OB－OB·OC＝OB·(OA－OC)＝OB·CA＝|OB||CA|·cos∠AOB<0，∴I1I3，作AG⊥BD于G， 又AB＝AD，∴OB

∴|OA||OB|<|OC||OD|，

→→→→

而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴OA·OB>OC·OD， 即I1>I3.∴I3

(2)法一 如图，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，

B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE＝(t，－1)，

→

→

CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.

→→→

因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1， →→

故DE·DC的最大值为1.

→→

法二 如图，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，所以

→→

→→→

DE·CB＝|CB|·1＝1.

→→

当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC＝1， →→→

所以(DE·DC)max＝|DC|·1＝1. 答案 (1)C (2)1 1

探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a|＝a求向量的模时，一定要把求出的a进行开方.

5

2

2

(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.

【训练1】 (1)(2018·温州模拟)平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a上的投影为5，则|a－2b|的模为( ) A.2

B.4

C.8

D.16

→→

1→4AC→→→→AB(2)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，

t→→

|AB||AC|→→

则PB·PC的最大值等于( ) A.13

B.15

C.19

D.21

33

(3)已知a，b均为单位向量，且(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为________.

2（a＋b）·aa＋a·b16＋a·b解析 (1)|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝|a＋b|·＝＝＝5；

|a＋b||a||a|4∴a·b＝4.

又(a－2b)＝a－4a·b＋4b＝16－16＋16＝16， ∴|a－2b|＝4.

(2)建立如图所示坐标系，

→?1?→?1?则B?，0?，C(0，t)，AB＝?，0?，AC＝(0，t)，

2

2

2

2

?t??t?

→→

4AC→AB则AP＝＋

→→|AB||AC|

?1?4

＝t?，0?＋(0，t)＝(1，4). ?t?t∴点P(1，4)，

→→?1?则PB·PC＝?－1，－4?·(－1，t－4)

?t?

?1?＝17－?＋4t?≤17－2

?t?

1

·4t＝13，

t11→→

当且仅当4t＝，即t＝时取等号，故PB·PC的最大值为13.

t2(3)设单位向量a，b的夹角为θ，则|a|＝|b|＝1，a·b＝cos θ. 33

∵(2a＋b)·(a－2b)＝－，

2

6

33322

∴2|a|－2|b|－3a·b＝－3cos θ＝－，∴cos θ＝. 22π

∵0≤θ≤π，∴θ＝.

6π

答案 (1)B (2)A (3)

6热点二 平面向量与三角的交汇

【例2】 (2018·金丽衢十二校联考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－6，2)，x∈[0，π].

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解 (1)由题意，得－6cos x＋2sin x＝0， π所以tan x＝3，又x∈[0，π]，所以x＝. 3

?π?(2)f(x)＝a·b＝－6cos x＋2sin x＝22sin?x－?，

3??

因为x∈[0，π]，所以x－

π?π2π?∈?－，?，

3?3?3

ππ5π

即f(x)的最大值为22，此时x－＝，于是x＝；

326

f(x)的最小值为－6，此时x－＝－，于是x＝0.

探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.

【训练2】 (2018·湖州调研)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q. (1)求B的大小；

(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c. 解 (1)因为p⊥q，

所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)·(1＋sin B)＝0， 即sinB－cosB＋2sinB－2＝0， 32

即sinB＝，

4

2

2

2

π3π3

7

又角B是锐角三角形ABC的内角， 所以sin B＝

3

，所以B＝60°. 2

(2)由(1)得B＝60°， 又△ABC的面积为3，

1

所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①

2

由余弦定理得b＝a＋c－2accos B，又b＝2， 所以a＋c＝8，② 联立①②，解得a＝c＝2.

1.平面向量的数量积的运算有两种形式：

(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；

(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.

2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直. 3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线

一、选择题

1.(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

2

2

2

2

2

2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

解析 ∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)＝(3a＋b)， ∴a－6a·b＋9b＝9a＋6a·b＋b，又∵|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立.故选C. 答案 C

2.已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，则|b|＝( ) A.9

B.3

C.109

D.310

2

2

2

2

解析 向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)， ∴2a＋b＝(1，x－8)，

8