2012级重庆名校中考模拟试题第24题专题训练含答案

（3）延长CD交AB于点H，则CH⊥AB， ∵∠HBD=30°，BD=2， ∴BH=BD?cos30°=

．

．

∴AC=BC=BH÷sin45°=

点评：本题把全等三角形的判定、等腰三角形的判定和解直角三角形结合求解．综合性强，难度较大，考查学生综合运用数学知识的能力． 5、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三角形的角平分线CE和高AD相交于点F，过F作FG∥BC交AB于点G，求证：（1）AE=BG．（2）若∠B=30°，FD=5，求四边形EBDF的面积．

考点：解直角三角形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。

分析：（1）过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N，判定四边形GBDF为平行四边形，进而证明△AMF≌△NDF，得出AE=BG； （2）根据S四EBDF=S△ABC﹣S△AEC﹣S△CDF，进而求出几个三角形的面积，从而得出答案． 解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴∠1+∠BAD=∠B+∠BAD=90°， ∴∠1=∠B， ∵CE是角平分线， ∴∠2=∠3，

∵∠5=∠1+∠2，∠4=∠3+∠B， ∴∠4=∠5， ∴AE=AF，

过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N， ∴MN∥AB， ∵FG∥BD，

∴四边形GBNF为平行四边形， ∴GB=FN，

∵AD⊥BC，CE为角平分线， ∴FD=FM，

在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF， ∴AF=FN， ∴AE=BG；

，

（2）解：∵∠B=30°，AB∥NF， ∴∠8=30°，

在Rt△FDN中，FN=2FD=10， ∴AF=AE=BG=FN=10， ∴∠BAD=60°， ∴△AEF为等边△， ∴EF=AE=10， ∵GF∥BC， ∴∠EGB=∠B=30°， ∠4=∠9+∠10=60°， ∴∠9=∠10=30°， EG=EF=10，

在Rt△ABC中，tan30°=∴AC=10

∠2=30°，

， ，

在Rt△CDF中，tan∠α=∴CD=

，

∴S四EBDF=S△ABC﹣S△AEC﹣S△CDF==．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的性质与判定以及三角函数的应用等知识，题目综合性较强，四边形面积求法利用三角形之间的差求出是解决问题的关键．

6、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE，∠ECB=45°． （1）求证：AB=BE；

（2）延长BE，交CD于F．若CE=

，tan∠CDE=，求BF的长．

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。 专题：数形结合。

分析：（1）延长DE，交BC于G，通过证明△BEG≌△DCG（AAS），即可得出AB=BE；

（2）连接BD，可先证明BF⊥CD，求出△BCD的面积及CD的长，继而得出答案；或者利用△BEG∽△BFC，解答：解：（1）证明：延长DE，交BC于G． ∵DE⊥AD于D，∴∠ADE=90°

又AD∥BC，∴∠DGC=∠BGE=∠ADE=90°，（1分） 而∠ECB=45°，∴△EGC是等腰直角三角形， ∴EG=CG（2分）

，将各边代入求解．

在△BEG和△DCG中，

∴△BEG≌△DCG（AAS）（4分） ∴BE=CD=AB（5分）

（2）连接BD． ∵∠EBC=∠CDE，

∴∠EBC+∠BCD=∠CDE+∠BCD=90°，即∠BFC=90° ∵CE=

，∴EG=CG（16分）

，∴DG=3（7分）

又tan∠CDE=，∴

∵△BEG≌△DCG，∴BG=DG=3 ∴∴CD=BE=法一：∵

．（8分）

，

∴（10分）

，∴

法二：经探索得，△BEG∽△BFC，∴∴

．（10分）

点评：本题考查了梯形、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度，注意这些知识的熟练掌握以便灵活运用． 7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=90°，BC=BD，在AB上截取BE，使BE=BC，过点B作BF⊥AB于B，交CD于点F，连接CE，交BF于点H，交BF于点G． （1）求证：EH=CG；

（2）已知AD=3，BC=2，求AB的长．

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

分析：（1）根据∠BEH=∠BCG，又∠DBC=∠ABF=90°，可得：∠EBH=∠CBG，再根据SAS即可证明△EBH≌△CBG，即可求证； （2）在直角△ABD中，利用勾股定理即可求解． 解答：（1）∵BF⊥AB，∠DBC=90°， ∴∠DBC=∠ABF=90°， ∴∠DBC﹣∠DBF=∠ABF﹣∠DBF

∴∠EBH=∠CBG，∵BE=BC，∠BEH=∠BCG， ∴△EBH≌△CBG， ∴EH=CG．

（2）∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=90°，BD=BC=2， ∵AB=AD+BD， ∴AB=

=

．

2

2

2

点评：本题主要考查了三角形全等的应用，以及勾股定理，把梯形的问题转化为三角形的问题是解题的关键． 8、（2008?贵阳）如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF．

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定。 专题：证明题；探究型。

分析：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．

（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形． 解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC， ∵E、F分别为AB、CD的中点， ∴AE=CF．

在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形． 证明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°． ∵E是AB的中点， ∴DE=AB=BE．

由题意可知EB∥DF且EB=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴四边形BFDE是菱形．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点． 9、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF． （1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长． （2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．