2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题04导数及其应用（热点难点突破）文（含解析）

导数及其应用

1．设函数y＝xsin x＋cos x的图象在点(t，ft分可以是( ) 答案 A

e

2．已知函数f(x)＝＋k(ln x－x)，若x＝1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是( )

x)处切线的斜率为g(t)，则函数y＝g(t)的图象一部

xA.(－∞，e] C.(－e，＋∞) 答案 A

B.(－∞，e) D.[－e，＋∞)

e

解析 由函数f(x)＝＋k(ln x－x)，

xxex－e?1?x－1?e－k?(x>0)，

可得f′(x)＝＋k?－1?＝??2

xxxx?x?x?x?

∵f(x)有唯一极值点x＝1， ∴f′(x)＝0有唯一根x＝1，

∴－k＝0无根或有且仅有一个根为x＝1， e

xxe设g(x)＝，

xxe

则g′(x)＝

xx－x2，

由g′(x)>0得，g(x)在[1，＋∞)上单调递增， 由g′(x)<0得，g(x)在(0,1)上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝e，

∴k≤e，即实数k的取值范围是(－∞，e].

1

3．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)

21x－e<0的解集为( ) 21??A.?－∞，? 2??

B．(0，＋∞) D．(－∞，0)

?1?C.?，＋∞?

?2?

1

答案 B

4．若函数f(x)＝e－x－ax(其中e是自然对数的底数)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x＋b，则函数

x2

fg(x)＝

x－b在(0，＋∞)上的最小值为( ) x2

A．－1 B．e C．e－2 D．e 答案 C

解析 因为f′(x)＝e－2x－a， 所以f′(0)＝1－a.

由题意知1－a＝2，解得a＝－1， 因此f(x)＝e－x＋x，而f(0)＝1， 于是1＝2×0＋b，解得b＝1， 因此g(x)＝

x2

xfxx－bf＝xx－x2

，

x－1ex－2x＝， xxe

所以g′(x)＝

令g′(x)＝0得x＝1， 故g(x)在x＝1处取得极小值，

即g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(1)＝e－2.

5．若曲线y＝x－ln x与曲线y＝ax＋x＋1在公共点处有相同的切线，则实数a等于( ) eeeeA. B．－ C．－ D. 3333答案 B

2

2

3

2

解析 设两曲线的公共点为P(m，n)，m>0， 1

由y＝x－ln x，得y′＝1－，

x则曲线y＝x－ln x在点P(m，n)处的切线的方程为

y－m＋ln m＝?1－?(x－m)，

?m?

?

1??1?即y＝?1－?x＋1－ln m.

?

m?

由y＝ax＋x＋1，得y′＝3ax＋1，

则曲线y＝ax＋x＋1在点P(m，n)处的切线的方程为

3

3

2

y－am3－m－1＝(3am2＋1)(x－m)，

即y＝(3am＋1)x－2am＋1，

2??3?m?e,?2e?a??.3 解得?2

3

1??1－＝3am2＋1，

所以?m??1－ln m＝－2am3＋1，

6．设函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋2＝0，则

f(1)＋f′(1)等于( )

A．4 B．3 C．2 D．1 答案 A

解析 依题意有f′(1)＝1,1－f(1)＋2＝0，即f(1)＝3， 所以f(1)＋f′(1)＝4.

7．已知函数f(x)＝x＋ax＋bx－a－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( ) 2A．－

32

C．－2或－

3答案 A

解析 由题意知f′(x)＝3x＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，

??3＋2a＋b＝0，即?2

?1＋a＋b－a－7a＝10，???a＝－2，解得?

??b＝1

2

3

2

2

abB．－2 2

D．2或－ 3

??a＝－6，或???b＝9，

3

??a＝－6，经检验?

?b＝9?

xa2

满足题意，故＝－. b3

e

8．曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为( )

x－1A．x－y－1＝0 B．x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0

D．2x＋y＋1＝0

xe（x－2）

解析 因为f′(x)＝2，所以f′(0)＝－2，故在x＝0处的切线方程为2x＋y＋1＝0，故选D.

（x－1）答案 D

9．曲线f(x)＝x＋x－2在p0处的切线平行于直线y＝4x－1，则p0点的坐标为( ) A．(1，0)

B．(2，8)

3

C．(1，0)和(－1，－4) D．(2，8)和(－1，－4)

解析 设p0(x0，y0)，则3x0＋1＝4，所以x0＝±1，所以p0点的坐标为(1，0)和(－1，－4)．故选C. 答案 C

10.如图，直线y＝2x与抛物线y＝3－x所围成的阴影部分的面积是( ) A.

35

3

D.

B．22 32 3

2

2

C．2－3

322

解析 S＝?1(3－x－2x)dx＝，故选D.

3

?－3

答案 D

11．设a＝?1 cos xdx，b＝?1 sin xdx，下列关系式成立的是( )

?0?0

A．a>b C．a

B．a＋b<1 D．a＋b＝1

1

1

π??

解析 a＝?1 cos xdx＝sin x?＝sin 1，b＝?1 sin xdx＝(－cos x)?＝1－cos 1，∴a＝sin 1>sin ＝

6?0?0?0?01

， 2

π1111

又cos 1>cos ＝，∴－cos 1<－，b＝1－cos 1<1－＝，∴a>b，选A.

32222答案 A

4