【青岛版】八年级数学上册专题突破讲练 如何选择参赛选手试题 含答案

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如何选择参赛选手

一、方差、标准差的有关概念

1. 方差：设在一组数据x1,x2,?xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是

，那么我们求它们的平均数，即为

1S?[(x1?x)2?(x2?x)2?n2(xn?x)]2

注意：方差反映的是这组数据的波动大小，方差越大，数据波动越大，反之，越稳定. 如：在方差的计算公式s=

21222[（x1－20）+（x2－20）+……+（x10－20）]中，数字1010和20分别表示的意义是________.

解析：10是对应公式中数据的个数，20是对应公式中的平均数. 2. 标准差：方差的算术平方根，我们把它称为这组数据的标准差，即

S?1[(x1?x)2?(x2?x)2?n(xn?x)2] 注意：标准差反映的这组数据的波动情况，标准差越大，数据波动越大，反之，越稳定. 方法归纳：方差、标准差的理解应注意以下几点：

反映情况 单位与原数据的吻合情况

二、方差、标准差的的求法

1. 方差的求法：计算方差的步骤为：“先平均，后求差，平方后，再平均”. 如：数据100，99，99，100，102，100的方差S=_________.

2方差 数据的波动情况 不一样 标准差 数据的波动情况 一样 100?99?99?100?102?100）?100 解：“先平均” x?（“后求差”（100—100），（99—100），（99—100），（100—100），（102—100），（100—100）“平

16（100—100），（99—100），（99—100），（100—100），（102—100），（100—100） 方后”

“再平均”

22222212S2?（100—100）?(99?100)2?(99?100)2?(100?100)2?(102?100)2?(100?100)2?1

6??故填1.

2. 标准差的求法：对方差进行开方运算，取其算术平方根.

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如：若一组数据的方差为9，则标准差为 . 解：9的算术平方根为3，即这组数据的标准差为3 故填3.

例题1 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的绝对值的平均数，即

1T?（x1?x?x2?x????xn?x）叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的

n离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算要比方差的计算要容易一点，所以有时人们也用它来代替方差来比较数据的离散程度.极差、方差（标准差）、平均差都是反映数据离散程度的量.

一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况；为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞；分开养殖或出售；他从两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得重量如下：（单位：千克）

甲鱼塘：3，5，5，5，7，7，5，5，5，3 乙鱼塘：4，4，5，6，6，5，6，6，4，4

请分别计算出甲、乙两个鱼塘中抽取的样本的极差、方差、平均差；完成下面的表格：

甲鱼塘 乙鱼塘 极差 方差 平均差 解析：根据极差的公式：极差=最大值－最小值，找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值；方差就是各变量值与其平均值的差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算.

答案：解：甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=7－3=4，

x甲?（3?2?5?6?7?2）?10?5，

S2甲222（3?5）?（5?5）?????（3?5）??1.6，

1011 组数据T甲?（x1?x甲?x2?x甲????xn?x甲）??（3?5?5?5?????3?5）?0.8；n10中最大的值6，最小值4，故极差=6－4=2；

x乙?（4?4?5?2?6?4）?10?5，

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11 T乙?（x1?x乙?x2?x乙????xn?x乙）??（4?5?4?5?????4?5）?0.8；n10S乙=[（4－5）+（4－5）+（5－5）+（6－5）+（6－5）+（5－5）+（6－5）+（6－5）+（4－5）+（4－5）]÷10=0.8，

甲鱼塘 乙鱼塘

点拨：此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法.

例题2 某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）.

极差 4 2 方差 1.6 0.8 平均差 0.8 0.8 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

甲、乙两人射箭成绩统计表：

甲成绩 乙成绩 第1次 9 7 第2次 4 5 第3次 7 7 第4次 4 a 第5次 6 7 （1）a= ，x乙= ； （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；

（3）①观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）.参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断.

②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中.

解析：（1）根据他们的总成绩相同，得出a=30－7－7－5－7=4环，进而得出.x乙=30÷5=6环；

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（2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可；

（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中.

答案：解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30环， 则a=30－7－7－5－7=4环，x乙=30÷5=6环，故答案为：4环，6环；

（2）如图所示：

（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙； 因为乙的成绩为：7，5，7，4，7，x乙=6环 所以S乙?221222222

×[（7－6）+（5－6）+（7－6）+（4－6）+（7－6）]=1.6环52由于S乙＜S甲，所以上述判断正确.

22②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差S甲得出乙的成绩比甲的成绩稳定，＞S乙所以乙将被选中.

点拨：方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可.

在实际生活中的应用

学习方差，我们知道方差是反映一组数据波动大小的特征数，当一组数据的方差较小时，说明这组数据较稳定.但在实际问题中，我们要根据具体问题具体分析，并不一定选择方差小的.

例题 甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：

选手组数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 认真审题 仔细作答