中南大学2012年硕士研究生入学考试试题

中南大学2012年硕士研究生入学考试试题 考试科目代码及名称：712数学分析 一、（20分）计算下列各题：

1、设x0?7,x1?3,3xn?2xn?1?xn?2(n?2)，求limxn；

n?? 2、limn???n?pnsinxxdx,(p为一正整数)

二、（30分）计算下列积分的值：

1、??sgn(xy?1)dxdy,其中D={(x,y)|0?x?2,0?y?2}；

D 2、?ecosydy?esinydx,其中L为圆周y?1?x2上从点A(1,0)到点B(?1,0)的一

Lxx段弧； 3、????e2y2dzdx，其中?为y?z?x与平面y?1,y?2所围成立体表面的外侧。

22z?x三、（20分）设f(x,y)?x?y?(x,y)，其中?(x,y)在点（0,0）的一个领域内连续，试证明函数f(x,y)在（0,0）点处可微的充要条件是?(0,0)?0。

x四、（20分）设f(x,y)为奇函数，在(??,?)内连续且单调递增，F(x)?证明：

1. F(x)为奇函数；

2. F(x)在[0,?)上单调递减。

?(x?3t)f(t)dt，

0''五、（15分）设函数f(x)在[a,b]上有连续的导数，且f(a)?f(b)?0,f?(a)f?(b)?0，

证明f(x)在(a,b)内至少存在一个零点。

?六、（15分）设

?ai?1n是数项级数，f(x)是定义在(??,?)上的函数，使得

f()?an(n?1,2,...),且f''(x)在x?0点处存在，证明：?an绝对收敛的充分必要条件nn?11?是：f(0)?f'(0)?0。

?七、（15分）在[??,?]上展开函数f(x)?x为Fourier级数，并证明?n?121n2??26。

??八、（15分）证明I(?)?致收敛。

?0xe??xdx在[?0,??)(?0?0)上一致收敛，但在(0,??)内非一