上海市十二校2015届高三12月联考数学(理)试题及答案

在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知向量m?(cos且m?n?AA3A3A,sin)，n?(cos,sin)22223

（1）求角A的大小；

（2）若sinB?sinC?3sinA，求证?ABC是直角三角形。

解（1）m?1,n?1 （1分） m?n?cos3AA3AAcos?sinsin 2222?3AA??cos????cosA （2分）

?22?又m?n22?3

m?n?3m?n?3 （4分）

1?1?2cosA,cosA?又A?(0,?) ?A?21 23 （7分）

?（另解可以参照给分） （2）?A?B?C??

?sinB?sin(3???B)?3sin （9分） 332?2?3sinB?sincosB?cossinB?

332313sinB?cosB? 222313sinB?cosB? （ 11分） 222sin(B??6)?3 2或B??B?B??6??3?6?2? 3?6或B??2 （13分）

sinB??6

C??A?B??2

??ABC是直角三角形 （14分）

（另外的解法可以参照给分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分）．

?3x?a已知函数f(x)?x?1

3?b（1）当a?b?1时，求满足f(x)?3x的x的 取值范围；

（2）若y?f(x)是定义域为R的奇函数，求y?f(x)的解析式，并判断其在R上的单调性并加以

证明。

?3x?1?3x，解：（1）由题意，x?1（1分）

3?1化简得3?(3x)2?2?3x?1?0 （3分）

解得?1?3?x1 （5分） 3?1?a?0?a?1，（7分） 3?b所以x??1 （6分） （2）已知定义域为R，所以f(0)?又f(1)?f(?1)?0?b?3，（9分）

1?3x经验证f(x)?x?1是奇函数； （10分）

3?31?3x可以判断f(x)?x?1 是减函数 （11分）

3?3证明如下：

对任意x1,x2?R,x1?x2可知f(x1)?f(x2)?6因为x1?（13分） x2,所以3x?3x?0，

213(3x1?1x2?3x1?3)(3x2?1?3) （ 14分）

所以f(x1)?（14分） f(x2)，因此f(x)在R上递减；

22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满6分，第3小题满6分

设函数y?f(x)与函数y?f(f(x))的定义域交集为D。若对任意的x?D，都有f(f(x))?x，则称函数f(x)是集合M的元素。

（1）判断函数f(x)??x?1和g(x)?2x?1是否集合M的元素，并说明理由； （2）设函数f(x)?log2(1?2x)，试求函数f(x)的反函数f（3）若f(x)??1(x)，并证明f?1(x)?M;

ax?M（a,b为常数且a?0），求使f(x)?1成立的x的取值范围。 x?b（1）因为对任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，所以f（x）=-x+1∈M（2分）

因为g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等x，所以g（x）?M （4分） （2）因为f（x）=log2（1-2x），所以x∈（-∞，0），f（x）∈（-∞，0）…（5分）

函数f（x）的反函数f-1（x）=log2（1-2x），（x＜0）…（6分） 又因为f-1（f-1（x））=log2（1-2f-1(x)）=log2（1-（1-2x））=x…（9分） 所以f-1（x）∈M…（10分） （3）因为f（x）=axx?b∈M，所以f（f（x））=x对定义域内一切x恒成立， （11分）

（12分） （13分）

（14分）

（16分）

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8

分． 已知数列?an?，如果数列?bn?满足b1?a1,bn?an?an?1(n?2,n?N?)，则称数列?bn?是数列。 ?an?的“生成数列”

（1）若数列?an?的通项为数列an?n，写出数列?an?的“生成数列”?bn?的通项公式

（2）若数列?cn?的通项为数列cn?An?B，（A,B是常数），试问数列?cn?的“生成数列”?ln?是否是等差数列，请说明理由

（3）若数列?dn?的通项公式为dn?2n?n，设数列?dn?的“生成数列”?pn?的前n项和为Tn，问是否存在自然数m满足(Tm?2014)(Tm?6260)?0，若存在，请求出m的值，否则请说明理由。

(1) 当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1，（2分）

当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式，（3分） ∴bn＝2n－1(n∈N*)．（4分） (2) ln???A?Bn?1 （5分）

2An?2B?An?2?当B＝0时，ln＝2An－A，由于ln＋1－ln＝2A，所以此时数列{cn}的“生成数列”{ln}是等差数列．(7分)

当B≠0时，由于l1＝c1＝A+B，q2＝3A＋2B，l3＝5A＋2B，此时l2－l1≠l3－l2，所以数列{cn}的“生成数列”{ln}不是等差数列．（9分） 综上，当B＝0时，{qn}是等差数列；

当B≠0时，{qn}不是等差数列． （10 分）