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正定矩阵的性质及应用

摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.

关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.

研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．

一、正定矩阵的定义

定义1.设f(x1,x2,?,xn)是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数c1,c2,?,cn都

有f(c1,c2,?,cn)?0,则称f(x1,x2,?,xn)是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.

定义2.n阶是对称矩阵A称为正定矩阵.如果对于任意的n维实非零列向量X?f(x1,x2,?,xn)AX?0，正定的是对称矩阵A简称为正定矩阵. 都有X?注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.

二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.

二．正定矩阵的一些性质

1.正定矩阵的充分必要条

（1）n元实二次型f(x1,x2,?,xn)正定?它的惯性指数为n.

证：设二次型f(x1,x2,?,xn)经过非退化矩阵实线性替换成标准

f(x1,x2,?,xn)?d1y1?d2y2???dnyn （1）

由“非退化线性替换保持正定性不变”可知

222222f(x1,x2,?,xn) 正定当且仅当d1y1?d2y2???dnyn是正定的？？

?，n. 由二次型d1y1?d2y2???dnyn正定当且仅当di?0.i?1,2，因此二次型正惯性指数为n.

（2）一个是对称矩阵A正定?A与E合同.既?可逆矩阵C，使得A?C?C. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：

定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成

22z12???z2p?zp?1???zr

222称为实二次型f(x1,x2,?,xn)的规范形.

定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一

的.

以下就是上述从要条件的证明：

证:正定二次型f(x1,x2,?,xn)的规范形为

y1?y2???yn （2）

因此（2）式的矩阵为单位矩阵E.

所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型f(x1,x2,?,xn)?证：必要性：设二次型

222??axxijii?1j?1nnj?XTAX正定?A的顺序主子式全大于零.

f(x1,x2,?,xn)???aijxixj

i?1j?1nn是正定的.对于每个k，1?k?n，令

fk(x1,?,xk)???aijxixj

i?1j?1kk我们来证fk是一个k元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数c1,?,ck，有

fk(c1,?,ck)???aijcicj?f(c1,?,ck,0,?0)?0

i?1j?1kk因此fk(x1,?,xk)是正定的.由上面的推论，fk的矩阵的行列式

a11?a1k???0，k?1,?,n ak1?akk这就证明了矩阵A的顺序主子式全大于零. 充分性：对n作数学归纳法

当n?1时,

f(x1)?a11x12

由条件a11?0,显然有f(x1)是正定的.

假设充分性的论断对于n?1元二次型已经成立，现在来证n元的情形.令

?a11?a1,n?1???

A1??????，

??an?1,1?an?1,n?1??于是矩阵A可以分块写成A???a1,n??????????an?1,n??

?A1?? ????ann?既然A的顺序主子式全大于零，当然A1的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的n?1级矩阵G使

G?A1G?En?1

这里En?1代表n?1级单位矩阵，令 C1???G0?，于是 ??01??G?0??A1???G0??En?1G???

?AC1??C1????a??01?????Ga?01???nn????nn?再令

-G????E C2??n?1?1??0有

0?En?1??En-10??En?1G????En?1?G????? ?C2C1AC1C2???0a???G?G?? ????Ga??0????G11nn?????nn???令C?C1C2 , 则ann???G?G??a，于是

?1????? C?AC???1???a??再取行列式 ， C2A?a，由条件，A?0.因此a?0.显然有

?1??1??1??1????????????????????? ?????1??11??1????????a??a??1??a??这就是说，矩阵A与单位矩阵合同，因之，A是正定矩阵，或者说，二次型 f(x1,x2,?,xn)是正定的.

(4) 一个是对称矩阵A正定?A的主子式全大于零. 证：必要性:对A的任一k阶主子式为：

?ai1i1?aii Ak??21?????aiki1ai1i2ai2i2?aiki2?ai1ikk??ai2ik??

????aikik??存在某个排列矩阵P，使P?AP的k阶顺序主子式为Ak,因为A?0，所以

P?AP?P?AP?AP?0

由矩阵充要条件(3)知Ak?0.

充分性：由A的主子式全大于零知： A的顺序主子式全大于零.

再由充要条件（3）知“充分性”成立.

（5） 一个是对称矩阵A正定?A的特征值全大于零.

证:必要性：由于对称矩阵A是正定矩阵.因为?一个正交矩阵T,使T?AT成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A的所有特征值. 因此A的特征值均为正数.

充分性：当对称矩阵A的特征根都为正数时，对角型矩阵T?AT对角线上的元素均为正数.因为T?AT为正定矩阵，又由于T为正交阵.所以A是正定阵.

2?A0? （6）A、B是是对称矩阵，则C???正定?A、B均正定.

0B??证：必要性：A、B因为是对称矩阵.所以C是实对称矩阵.又因为C是正定的

由充分必要条件（4）知：A、B均为正定的

充分性：因为A、B是正定. 所以?正交矩阵P、Q使得P?AP、Q?BQ为对角阵.所以C可经合同变换化为对角型，且对角线上的元素为A、B的特征值且都大于零.所以C正定.