(完整word)2018届高三年级数学二轮复习_数列专题与答案

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n?1a1(1?qn)2n2???(?1)（2）由（1）可得Sn? 1?q33n?3n?14?2n?22n2n2?2[??(?1)]?2Sn,故Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列 由于Sn?2?Sn?1???(?1)3333

变式．【解】 (1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得

an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1，

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1.

于是，

22

所以an＋1－a1＝n，即an＋1＝n＋a1.

又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2. 考点三、等差（比）数列的性质

命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质

【解析】 (1)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力． 由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)， a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B. (2)本题主要考查等差数列的性质am＋an＝ap＋aq.

a1＋a10

由S10＝12得×10＝12，

21212

所以a1＋a10＝，所以a5＋a6＝.故选A.

55

命题角度二 与等差(比)数列的和有关的性质

【解析】 （1）在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)．解得S6＝63.故选C.

13（a1＋a13）

(2)∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，∴S13＝＝

2

13（a4＋a10）13×4

＝＝26.故选B.

22

[针对训练]

1．【解析】 由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25得5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10. 2．【解析】 a4a5a7a8＝a4a8·a5a7＝(a4a8)2＝256.【答案】 256 3．【解析】 ∵a10a11＋a9a12＝2e5，∴a10·a11＝e5，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10·ln e5＝50.

【巩 固 训 练 】

一、选择题

5（a1＋a5）5×2a3

1【解析】 数列{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝＝5.【答案】

22

A

3×2

2【解析】 由题知3a1＋d＝12，∵a1＝2，解得d＝2，又a6＝a1＋5d，∴a6＝12.故选C.

2

3．【解析】 由等比数列的性质得，a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列．故选D.

2×124×31

4．【解析】 由题意知 S2d)＝a1(4a1＋d)，把d＝－1代入整理得a1＝－.故2＝S1·S4，∴(2a1＋222

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选D.

11

5．【解析】 将an－aa＋1＝anan＋1两边同时除以anan＋1可得－＝1，即bn＋1－bn＝1，所以{bn}是公差为

an＋1an

9（b1＋b9）

d＝1的等差数列，其前9项和为＝90，所以b1＋b9＝20，将b9＝b1＋8d＝b1＋8，代入得b1＝

2

6，所以b4＝9，b6＝11，所以b4b6＝99.故选B.

二、填空题 6．【解析】 设等差数列的首项为a1，根据等差数列的性质可得，a1＋2 015＝2×1 010，解得a1＝5.【答案】 5

??a1＋a4＝9，??a1＋a4＝9，

7．【解析】 ∵?∴?则a1，a4可以看作一元二次方程x2－9x＋8＝0的两根，故

?a2a3＝8，?a1a4＝8，??

????a1＝1?a1＝8，?a1＝1，??，或∵数列{an}是递增的等比数列，∴?可得公比q＝2，∴前n项和Sn＝2n－1. ?a4＝8?a4＝1.?a4＝8.???

n（n－1）d2ddd

8．【解析】 等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d＝n＋(a1－)n＝n2＋(7－)n，对称轴为

22222

dd－7－72277

－1，－? ，对称轴介于7.5与8.5之间，即7.5＜＜8.5，解得－1＜d＜－.【答案】 ?8??dd8

三、解答题

9．.【解】 (1)设数列{an}的公比为q，∵{an}为等比数列，

a4－

∴＝q3＝8，∴q＝2，∴an＝2×2n1＝2n. a1

(2)设数列{bn}的公差为d，∵b3＝a3＝23＝8，b5＝a5＝25＝32，且{bn}为等差数列，

n（n－1）

∴b5－b3＝24＝2d，∴d＝12，∴b1＝b3－2d＝－16，∴Sn＝－16n＋×12＝6n2－22n.

2

10、【解】 (1)设数列{an}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.

(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n＜60n＋800，

此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．

n[2＋（4n－2）]

当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.

2

令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.

2an＋1

11．【解】 (1)证明：因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次

2an

构成等比数列．

(2)不存在，理由如下：令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．

34

假设存在a1，d，使得a1，a22，a3，a4依次构成等比数列， 则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.

1d

－＜t＜1，t≠0?， 令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4??2?a

化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1. 将t2＝t＋1代入(*)式，

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1

t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－. 4

134

显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a1，d，使得a1，a22，a3，a4依次4构成等比数列．

第2讲 数列求和及其综合应用

【 真 题 体 验 】

1．(2015·北京高考)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )

A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3 D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0

【解析】 若{an}是递减的等差数列，则选项A、B都不一定正确．若{an}为公差为0的等差数列，则

a1＋a3

选项D不正确．对于C选项，由条件可知{an}为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a2＝，

2

a1＋a3

由基本不等式得＞a1a3，所以C正确．

2

【答案】 C

1

2．(2015·武汉模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为( )

anan＋1

10099A. B. 10110199101C. D. 100100

【解析】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15， ?a1＋4d＝5， 5×（5－1）

d＝15，?2?5a1＋

?a1＝1，?∴?∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ?d＝1，?11111111111∴＝＝－，∴数列{}的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－

223100101101anan＋1n（n＋1）nn＋1anan＋1

100＝. 101

【答案】 A 3．(2015·福建高考)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d.

??a1＋d＝4，

由已知得?

?（a＋3d）＋（a＋6d）＝15，11?

∴?

?

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??a1＝3，解得?

?d＝1.?

所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)

2×（1－210）（1＋10）×10＝＋

21－2

＝211＋53 ＝2 101.

数列的通项公式（自主探究型）

11111

1．当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－

S1SnSn＋1Sn＋1Sn

111

1，所以{}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－.

SnSnn

1

2．当n＝1时，a1＝3×1＋1，所以a1＝12，

3

1111111

当n≥2时，①：a1＋2a2＋…＋n－1an－1＋nan＝3n＋1，②：a1＋2a2＋…＋n－1an－1＝3(n－1)＋1.

33333331

①－②得：nan＝(3n＋1)－[3(n－1)＋1]，

3

???12，n＝1，?12，n＝1，1n＋1?即nan＝3，所以an＝3，综上可得：an＝n＋1【答案】 ?n＋1

3?3，n≥2.?3，n≥2??3． 本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决．

由于a1＝3，求a2＝1，a3＝2，a4＝3，所以数列{an}是周期为3的周期数列，所以a2 015＝a671×3＋2＝a2

＝1.

数列的前n项和（多维探究型）

命题角度一 基本数列求和、分组求和

???b2＋S2＝10，?q＋6＋d＝10，?【典例1】 (1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则由得?解?a5－2b2＝a3，??3＋4d－2q＝3＋2d，?

??d＝2，得? ?q＝2，?

所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n1.

2?，n为奇数，?n（a1＋an）n（n＋2）(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝＝n(n＋2)，则cn＝?

2－??2n1，n为偶数，

11??n－n＋2，n为奇数，

即cn＝?

??2n－1，n为偶数，∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)

11??1113＋…＋22n－1) －1－?＋?－?＋…＋?＝??＋(2＋2

??3??35??2n－12n＋1??

2（1－4n）12n2

＝1－＋＝＋(4n－1)．

2n＋11－42n＋13命题角度二 裂项相消法求和

【典例2】 (1)由题设知a1 a4＝a2 a3＝8，

??a1＝1，??a1＝8?又a1＋a4＝9，可解得或?(舍去)． ?a4＝8?a4＝1??

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