第3讲.第二轮复习之代数综合.尖子班.学生版

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第二轮复习之 代数综合

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在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．

典题精练

2【例1】 ⑴ 已知：x2?x?1?0，则代数式x?x?1??x?3? ．

⑵ 已知n?2m2?3和m?2n2?3，且m?n，则代数式2m3?2mn?2n3的 值 ．

⑶ 已知mn??1，m2?33m?2?0，则6n2?93n?2017? ． ⑷ 已知a?b?c?1，b2?c2?4ac?6c?1?0，则abc? ．

【例2】 已知关于x的一元二次方程x2?2ax?b2?0，a?0，b?0.

⑴ 若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；

⑵ 若a:b?2:3，且2x1?x2?2，求a，b的值；

⑶ 在⑵的条件下，二次函数y?x2?2ax?b2的图象与x轴的交点为A、C（点A在点

，与y轴的交点为B，顶点为D.若点P是四边形ABCD与直线y?3x?z的C的左侧）

交点，试求z的最大值.

【例3】 已知：关于x的一元二次方程?m?1?x2??m?2?x?1?0（m为实数）.

⑴ 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

⑵ 求证：抛物线y??m?1?x2??m?2?x?1总过x轴上的一个定点；

⑶ 若m是整数，且关于x的一元二次方程?m?1?x2??m?2?x?1?0有两个不相等的整 数根时，把抛物线y??m?1?x2??m?2?x?1向右平移3个单位长度，求平移后的解 析式．

【例4】 已知点A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y?x2?x上.

2211 ⑴ 求抛物线与x轴的交点坐标； ⑵ 当a=1时，求△ABC的面积；

⑶ 是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证 明；如果不存在，请说明理由.

【例5】 已知抛物线y?3x?mx?2．

⑴ 求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；

2

⑵ 若m为整数，当关于x的方程3x2?mx?2?0的两个有理数根都在?1与 （不包括-1、

4之间时34），求m的值． 32

⑶ 在⑵的条件下，将抛物线y?3x?mx?2在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新图象G，再将图象G向上平移n个单位，若图象G 与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围 是 ．

【例6】 抛物线y??x?bx?c，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负. ⑴ 求抛物线的解析式.

⑵ 直线y?kx?b（k≠0）与抛物线交于点A（

23，m）和B（4，n），求直线的解析式. 2⑶ 设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G. ①求t的取值范围

②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在， 请说明理由.