2019_2020学年高中数学阶段质量检测(二)解析几何初步北师大版必修2

所以点P的坐标为(1，3，2)． (2)因为点B在y轴上，

因此可设点B的坐标为B(0，b,0)， 则|PB|＝1＋?b－3?＋4＝5， 解得b＝3，

所以点B的坐标为(0，3，0)．

18．(12分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)． (1)求直线l的方程；

(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标． 解：(1)∵k＝tan 135°＝－1， ∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)设A′(a，b)，

2

b－4??a－3×?－1?＝－1，则?a＋3b＋4??2＋2－2＝0，

解得a＝－2，b＝－1，

∴A′的坐标为(－2，－1)．

19．(12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．

解：设圆心为C(a，a－1)，半径为r， 则点C到直线l2的距离d1＝点C到直线l3的距离是d2＝

|4a＋3?a－1?＋14||7a＋11|

＝.

55|3a＋4?a－1?＋10||7a＋6|

＝.

55

|7a＋11|

??5＝r，

由题意，得?

?|7a＋6|?＋3＝r.

?????5?

2

2

2

解得a＝2，r＝5，即所求圆的方程是(x－2)＋(y2

－1)＝25.

20．(12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l1

的斜率为，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．

2

解：设直角顶点为C，点C到直线y＝3x的距离为d， 1

则d·2d＝10，∴d＝10. 2

2

1

∵直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，

21

∴直线l的方程为y＋2＝(x－4)．

2即x－2y－8＝0.

设直线l′是与直线y＝3x平行且距离为10的直线， 则直线l′与l的交点就是C点， 设直线l′的方程是3x－y＋m＝0， ∴

|m|3＋?－1?

2

2

＝10，∴m＝±10，

∴直线l′的方程是3x－y±10＝0.

??x－2y－8＝0，

由方程组?

?3x－y－10＝0?

??x－2y－8＝0，

或?

?3x－y＋10＝0，?

得点C的坐标是?

?12，－14?或

?5??5

?－28，－34?.

?5?5??

21．(12分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．

(1)求AB边上的高CE所在直线的方程； (2)求△ABC的面积．

解：(1)由题意可知，E为AB的中点， ∴E(3,2)，且kCE＝－

1

kAB＝1，

∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.

??x－2y＋2＝0，

(2)由?

?x－y－1＝0，?

得C(4,3)，

∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC， 1

∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.

2

22．(12分)已知圆M：x＋(y－4)＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.

(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标．

(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

2

2

解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.

设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°. 在Rt△MAP中，|MP|＝|AM|＋|AP|，故|MP|＝2＋?23?＝4. 又|MP|＝ ?0－2b?＋?4－b?＝ 5b－8b＋16， 82

所以 5b－8b＋16＝4，解得b＝0或. 5

2222

2

2

2

2

?168?所以点P的坐标为(0,0)或?，?. ?55?

(2)设点P的坐标为(2b，b)．

因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆， 且MP的中点坐标为?b，

??

b＋4?

2?

2

?，

2

2

?b＋4?2＝4b＋?b－4?，

所以圆N的方程为(x－b)＋?y－?2?4?

即(2x＋y－4)b－(x＋y－4y)＝0.

2

2

??2x＋y－4＝0，由?22

?x＋y－4y＝0，?

??x＝0，

解得?

?y＝4，?

8

x＝，??5或?4

y＝??5，

?84?所以圆N过定点(0,4)和?，?.

?55?