人教版2020高考数学二轮复习专题四概率与统计第1讲统计与统计案例练习

－1

解 (1)x＝(9＋7＋3＋1)＝5，

4－

y＝(0.5＋3.5＋6.5＋9.5)＝5，

4

14

∑xiyi＝9×0.5＋7×3.5＋3×6.5＋1×9.5＝58，

i＝1

4

∑xi＝9＋7＋3＋1＝140.

i＝1

^58－4×5×521^?－21?×5＝41， ∴b＝＝－，a＝5－?20?2

140－4×5204??^2141∴y关于x的线性回归方程为y＝－x＋.

204

22222

(2)根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2 000元，有6天每天亏损1 000元，有12天每天收入2 000元，有6天每天收入6 000元，有3天每天收入8 000元. 1

估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为×(－2 000×3－1 000×6＋

302 000×12＋6 000×6＋8 000×3)＝2 400(元). 探究提高 1.求回归直线方程的关键及实际应用 (1)关键：正确理解计算b，a的公式和准确地计算.

(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值. 2.相关系数

(1)当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，两变量负相关. (2)当|r|>0.75时，认为两个变量具有较强的线性相关.

【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.

^

^

注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

9

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：

7

7

7

参考数据：∑yi＝9.32，∑tiyi＝40.17，i＝1

i＝1

n∑ （yi－y）＝0.55，7≈2.646.

i＝1

－

2

∑ （ti－t）（yi－y）

参考公式：相关系数r＝

i＝1n－－

∑ （ti－t）∑ （yi－y）

i＝1

i＝1

^

^

^

－

n2

，

－

2

回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

n∑ （ti－t）（yi－y）

－－

b＝

^

i＝1

n∑ （ti－t）

i＝1

－

，a＝y－b t.

2

^－^－

解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得

－

7

t＝4，∑ (ti－t)＝28，

i＝1

7

－

7

2

∑ （yi－y）＝0.55.

i＝17

－

2

∑ (ti－t)(yi－y)＝∑tiyi－t∑yi＝40.17－4×9.32＝2.89， i＝1

i＝1

i＝1

－－7－

r≈

2.89

≈0.99.

2×2.646×0.55

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.

7

∑ （ti－t）（yi－y）^9.322.89i＝1

(2)由y＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103， 7

－7282

∑ （ti－t）

－

－－

i＝1

a＝y－b t≈1.331－0.103×4≈0.92.

所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.

将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨. 热点四 独立性检验

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^

^

^－^－

【例4】 (2018·全国Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m (3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

n（ad－bc）2附：K＝，

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

2

P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 －

解 (1)第一种生产方式时间集中在区间[80，90]，且平均工作时间x1＝84. 第二种生产方式的时间集中在区间[70，80)，且平均工作时间x2＝74.7. ∴x1>x2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种， ∴第二种生产方式的效率更高. (2)由茎叶图数据得到m＝80. 由此填写列联表如下：

－

－

－

第一种生产方式 第二种生产方式 总计 (3)根据(2)中的列联表计算.

超过m 15 5 20 不超过m 5 15 20 总计 20 20 40 11

2

n（ad－bc）240（15×15－5×5）

K＝＝＝10>6.635，所以有99%的

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）20×20×20×202

把握认为两种生产方式的效率有差异. 探究提高 1.独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表；

n（ad－bc）22

(2)根据公式K＝计算K的值；

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

2

(3)查表比较K与临界值的大小关系，作统计判断.

2.K的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大.

【训练4】 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

2

2

(1)根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；

(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？ 解 (1)女性平均使用微信的时间为：

0.16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76(小时). (2)由已知得：2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08. 由题设条件得列联表

男性 女性 微信控 38 30 非微信控 12 20 总计 50 50 12