计数原理、概率、随机变量及其分布第7讲-高考理科数学归纳总结讲义

1232＝15＋15＋15＝5.

条件探究 若将举例说明条件变为“P(ξ＝n)＝5??1

P?2<ξ<2?的值． ??

解 ∵P(ξ＝n)＝

an?n＋1?

. a

(n＝1,2,3,4)．”求

n?n＋1?

aaaa5∴2＋6＋12＋20＝1，∴a＝4. 5?5?1

P?2<ξ<2?＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝6. ??

结论探究 举例说明条件下，求5ξ－1的分布列． 解 由举例说明解析得ξ的分布列为

所以5ξ－1的分布列为

1．分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．

提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数． 2．随机变量X的线性组合的概率及分布列问题

(1)随机变量X的线性组合η＝aX＋b(a，b∈R)是随机变量．

(2)求η＝aX＋b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.

1．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：

则下列各式正确的是( ) 2

A．P(ξ＜3)＝5 2

C．P(2＜ξ＜4)＝5 答案 C

解析 由离散型随机变量ξ的概率分布列得， P(ξ＜3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)

11113123＝10＋5＋10＋5＝5，故A错误；P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝5＋5＝5，故2

B错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝5，故C正确；P(ξ＜0.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)113

＝10＋5＝10，故D错误．

2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

4

B．P(ξ＞1)＝5 D．P(ξ＜0.5)＝0

则q的值为( ) A．1

333B.2±6

333C.2－6 答案 C

333D.2＋6

2－3q≥0，??q≥0，

解析 由分布列的性质知?

1??3＋2－3q＋q＝1，

2

2

333

解得q＝2－6. 题型 二 超几何分布

(2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：

(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列． 解 (1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，

21

C5C24

则P(A)＝C3＝7. 7

(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，

3C44

P(X＝0)＝C3＝35，

721C4C318

P(X＝1)＝C3＝35，

712C4C312

P(X＝2)＝C3＝35，

73C31

P(X＝3)＝C3＝35，

7

∴X的分布列为

1．超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题． (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的应用条件 (1)考察对象分两类． (2)已知各类对象的个数．

(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分布． 3．求超几何分布的分布列的步骤

某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：