补码运算规则

补码(two's complement)

在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值位统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码的的相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。

补码的特性

1、一个整数（或原码）与其补数（或补码）相加，和为模。 2、对一个整数的补码再求补码，等于该整数自身。 3、补码的正零与负零表示方法相同。

机器数：计算机中参与运算的数被称为机器数，有以下特点，

1、计算机中参与运算的数均为二进制数，这是因为，运算电路是由只能识别“0”、“1”的数字电路组成。

2、机器数有带符号数和无符号数两种。

3、带符号的机器数有源码、反码和补码三种表示方式；无符号数没有源码、反码、补码的区别。

4、CPU的运算电路是按补码的运算规律设计，因此，进行运算的带符号数均用补码表示。

无符号数的运算

1、与手工二进制运算的方法相同（指运算电路）。

2、可以用十六进制数的运算代替二进制数的运算，计算时不容易出错，而且快捷。

源码表示法（带符号数）

1、正数。最高位是符号位，用“0”表示正号，即15~0位的第15位为0，7~0位的第7位为0。

2、负数。最高位是符号位，用“1”表示负号，即15~0位的第15位为1，7~0位的第7位为1。

3、求源码的方法：先将真值转换成二进制数，再写成固定的8位或16位，最高位用“0”或“1”表示数的正号和负号。计算机就是用这种方法表示。

真值就是带符号的十进制数（补码的绝对值），如+20、-20、+120、-120。 在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。若要得到一个负二进制补码的真值（原来的数值），只要对其求补码，就可得到真值。 【例5】-65的补码是10111111

若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。 各位取反（除符号位）：11000000，再+1：11000001（-65）

反码表示法（带符号数）

1、正数。源码等于反码。

2、负数。源码的最高位“1”不变，数值部分“1”变“0”，“0”变“1”。 3、求反码的方法：正数不用求反码，正数的源码就是反码。负数的反码是以负数的源码再求反码。

补码表示法（带符号数）

1、正数。源码等于补码。

2、负数。反码的最高位“1”不变，数值部分+1。 求补码的方法。正数的源码等于补码。负数的补码是以该负数的源码求反码然后再+1获得。同一个数字在不同的补码表示形式中是不同的。比如-15的补码，在8位二进制中是11110001，然而在16位二进制补码表示中，就是1111111111110001。以下都使用8位2进制来表示。 【例】求-5的补码。

因为给定数是负数，则符号位为“1”。 后七位：-5的原码（10000101）→符号位不变（10000101）→数值位取反（11111010）→加1(11111011)

所以-5的补码是11111011。

【例】数0的补码表示是唯一的。 [+0]补=[+0]反=[+0]原=00000000 [ -0]补=11111111+1=00000000 补码转化为原码

已知一个数的补码，求原码的操作其实就是对该补码再求补码： ⑴如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。 ⑵如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。

【例】已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）。 因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。 其余七位1111001取反后为0000110； 再加1，所以是10000111。

补码的运算（带符号数）

补码的运算原理：计算机中的CPU仅有加法电路，没有减法电路。采用补码运算的目的，是将减法变为加法。同时，补码运算将符号位视为数共同参与运算，

其结果仍然不会出错。但是，补码运算的条件是运算器有固定的容量，即“模”。

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。表示n位的计算机计量范围是0～2^n-1，模=2^n（2^n表示将2的n次方）。

例如，两位十进制计数器，它的计数容量是00~99，模=100 时钟的计数容量是0~11，模=12

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

例如：假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：一种是倒拨4小时，即：10-4=6；另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6 在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1成为100000000(9位），但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2^8。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

另外两个概念：

一的补码（one's complement) 指的是正数=原码，负数=反码 二的补码（two's complement) 指的就是通常所指的补码。

1、补码的加法。两个补码相加，算法与二进制加法相同，也可以用十六进制数相加。注意：和仍然是一个补码，符合补码定义。 [X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

【例6】X=+0110011, Y=-0101001，求[X+Y]补 [X]补=00110011 [Y]补=11010111

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010 注：因为计算机中运算器的位长是固定的（定长运算），上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是100001010，而是00001010，。

2、验算结果。由补码求真值的方法：先求出补码对应的源码，再求出真值。对X的补码再进行求补码运算，就得到X的源码。

从补码求源码的方法：正数不用求源码，源码等于补码。负数的补码符号位不变，数值部分按位取反，然后再+1，得到源码。 注意：由真值求补码或由补码求真值的方法，都必须用二进制数表示才能进行。

补码的减法。计算机不能做减法，采用的方法是对减数进行进行变补，再与被减数相加实现的。变补运算的方法：连同符号位一同取反+1。 [X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补【1】

【1】 在上一个版本中有如下说明：

“其中[-Y]补 称为负补，求负补的方法是：负数的绝对值的原码所有位按位取反；然后整个数加1。（恢复本来解释。请路人真正理解并实际验证后再修改。以免误导大众。另外，例6不具典型性，新增例7。）”

私以为， 不必要提出负补的概念以使问题复杂化，尽管该解法是正确的，但却完全没有必要增加新的运算方法及运算结构。求[-Y]补，只需，先将符号位取反，求出-Y， 再求-Y的补码即可。尽管这与求负补的方法实际上是一致的， 但是却简化了概念，仅仅是对过去概念以及运算结构的复用。 相应的，原例7（现例8）重新作了修改。

【例7】1-1 [十进制]

1的原码00000001 转换成补码：00000001 -1的原码10000001 转换成补码：11111111 1+（-1)=0

00000001+11111111=00000000 00000000转换成十进制为0 0=0所以运算正确。

【例8增】-7-（-10) [十进制]

改为加法形式：-7-（-10）=-7+（-（-10）） -7的补码：11111001

-（-10）的补码：-10的原码为10001010，-（-10）的原码为00001010， -（-10）的补码就是其原码，为00001010 -7 - （-10)= -7 + 10 = 3

11111001+00001010 = 00000011 转换成十进制为3

3、

手工算法：直接减。不论被减数是大于、等于或小于减数，均用被减数减去减数。当被减数小于减数时，直接向高位借位，结果仍然正确，而且是一个补码。 例：（-64）-（+20）=（-64）+（-20）= -84 （+20）-（-64）=（+20）+（+64）= +84

带符号数补码的范围

1、8位带符号数补码的范围：-128~+127，80H~7FH或0X80~0XFF。 2、16位带符号数补码的范围：-32768~+32767,8000H~7FFFH或0X8000~0X7FFF。