初中平面几何中的定值问题

初中平面几何中的定值问题

平面几何中的定值问题

开场白:同学们,动态几何类问题就是近几年中考命题的热点,题目灵活、多变,能够全面考查同学们的综合分析与解决问题的能力。这类问题中就有一类就是定值问题,下面我们来瞧几道题:

【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角

A边AB=AC=1,P就是斜边BC上的一动点,过

P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则

FPE+PF= 。

E方法1:特殊值法:把P点放在特殊的B点或C点或

BC中点。此种方法只适合小题。

方法2:等量转化法:这就是绝大部分同学能够想到的

BCP方法,PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。

方法3:等面积法:连接AP,S?ABC?S?ABP?S?APC?AB?AC?AB?PE?AC?PF

?AB?PE?PF

总结语:这虽然就是一道动态几何问题,难不？不难,在解决过程中(方法2抓住了边长AB 的

不变性与PE,PF与BE,AE的不变关系;方法3抓住了面积的不变性),使得问题迎刃而解。 设计:大部分学生都能想到方法2,若其她两种方法学生没有想到,也不要深究,更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答(赛比艳,艾科)

(设计意图:由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。)

过渡:这道题太简单了,因为等腰直角三角形太特殊了,我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形,问题有没有变化,又该如何解决？请瞧:

【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为 A等腰三角形,且两腰AB=AC=5,底边BC=6, 过P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则

FPE+PF还就是定值不？若就是,就是多少？

E若不就是,为什么?

BC方法1:三角形相似进行量的转化

?ABM:?PBE:?PCFAMPEPFAM?PBAM?PC ????PE?,PF?ABPBPCABABAM(PB?PC)AM?BC4?624 (板书) ?PE?PF????ABAB55P(M为BC中点)(解题要点:等腰三角形中,底边上的中线就是常作的辅助线,抓住这条线的长度

就是不变量这个特点,建立PE,PF与AM之间的联系,化动为静) 方法2:等面积法:

S?ABC?S?ABP?S?APC?BC?AM?AB?PE?AC?PF

?PE?PF?BC?AM6?424??(M为BC中点) (板书)

AB55(解题要点:抓住三角形面积就是个不变量,用等面积法求解,这就是在三角形中求解与垂线段

有关的量的常用方法。)

(若学生想不到,可提示:在此题中,不变的东西就是什么？不变的这个量与变量PE,PF之间有

初中平面几何中的定值问题

什么联系,能不能用一个等式来表示？

学生会三角形的边长,角度,周长,面积等都就是不变量。

(设计意图:由特殊到一般,引出求垂线段长度的常用方法:等面积法)

(教师行为:出示题之后,让学生做,教师下去瞧。叫用方法1的同学先站起来回答,然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。)

问:我把题中的5改为a,6改为b,PE+PF还就是定值不？您能求出这个定值不？ 答:就是定值,求解方法不变。

问:由这题,您能得出等腰三角形的一个一般性结论不？

结论:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之与为定值PE+PF=

b?h(a为腰长,b为底边a长,h为的边上的高)(等面积法可以求解,注意当顶角为钝角的情况) (设计意图:培养学生探究的精神,养成勤总结的习惯)

问题:通过前面几题,您能说说在解答动态几何问题时解题的关键就是什么？应该注意什么问题？

答:不要被\动\、\变\迷惑,通过观察,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内在联系,找到不变量或不变关系,找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中,就是否需要讨论。

过渡:上面两题中的动点都就是在一定线段或直线上运动,有些同学可能还就是觉得不够刺激,下面再来一道刺激一点的,让点在一个区域内运动,请瞧: 【变式2】已知P为边长为a的等边三角形ABC内任意一动点, P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之与就是否为定值？为什么？

A(由上题的启示,学生可能很容易想到等面积法)

S?ABC?S?ABP?S?ACP?S?BCP?BC?AM?AB?PE?AC?PF?BC?PD?PE?PF?PD?AM 为定值 (M为BC中点) (板书)

EPF可以用几何画板度量长度,进行演示

(设计意图:使学生更深一步理解等面积法的应用)

过渡:研究完了P在三角形内部运动的情况,我们不防降低对P点的约

DB束,让这个好动的点P动到三角形外部去,情况又会有何变化？

【变式3】已知P为边长为a的等边三角形ABC外任意一点,P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则P到三边的距离之间有何关系？为什么？

CAFPDBECBEEAAPFBCDDPFC图1

图2 图3 在几何画板中操作,发现当点P移出三角形时,h1＋h2＋h3发生改变,那么h1,h2,h3有没有什么一定的关系呢？

等面积法还可以用不？△PAB,△PBC,△PAC的面积有何关系？这三个三角形的面积与不变的三角形ABC的面积有何关系？

初中平面几何中的定值问题

(直需讲解一种情况,其它让学生自己去补充)

图1:S?ABC?S?ABP?S?ACP?S?BCP?BC?AM?AB?PE?AC?PF?BC?PD

?PE?PF?PD?AM为定值 (板书)

图2:S?ABC?S?ACP?S?BCP?S?ABP?BC?AM?AC?PF?BC?PD?AB?PE

?PF?PD?PE?AM为定值 (只把结论板书)

图3:S?ABC?S?ABP?S?BCP?S?ACP?BC?AM?AB?PE?BC?PD?AC?PF

?PE?PD?PF?AM为定值 (只把结论板书)

AFDBPE

AFPAEECDPCBFB图

DC1

图2 图3

图1:S?ABC?S?ACP?S?ABP?S?BCP?BC?AM?AC?PE?AB?PF?BC?PD

?PF?PE?PD?AM为定值 (板书)

图2:S?ABC?S?ABP?S?BCP?S?ACP?BC?AM?AB?PE?BC?PD?AC?PF

?PE?PD?PF?AM为定值 (只把结论板书)

图3:S?ABC?S?BCP?S?ABP?S?ACP?BC?AM?BC?PD?AB?PE?AC?PF

?PD?PE?PF?AM为定值 (只把结论板书)

(设计意图:渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。)

(教师行为:在几何画板中作出个三角形,填充内部,让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。)

过渡:前面我们研究的都就是以三角形为背景的动态几何定值问题,下面再瞧一道以圆为背景的定值问题。

【问题2】 已知:已知弧AB为120度,在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点),以M为圆心作圆M与AB相切,分别过A,B作⊙M的切线,两条切线相交于点C、 求证:∠ACB有定值,并求出这个定值、

C分析:

问:这个图形中不变的就是什么？不变的角就是那一个？ 答: 此题中的不变量就是弧AB,因此∠AMB也就是不变

FE量;

不变关系就是相切。 M问:已知直线与圆已经相切,我们会想到什么？

ADB初中平面几何中的定值问题

答:连接圆心与切线

方法1:问:要证∠ACB有定值,可以转化为求什么为定值？

答:要证∠ACB有定值,只需证∠CAB+∠CBA就是定值,只需证 ∠MAB+∠MBA就是定值,只要∠AMB就是定值即可。 证明:在△ABC中,∠MAB+∠MBA=180?－∠AMB, ∵M就是△ABC的内心,

∴∠CAB+∠CBA=2(180?－∠AMB)、

∴∠ACB=180?－(∠CAB+∠CBA)=180?－2(180?－∠AMB)= 2∠AMB－180?＝60?、 ∴∠ACB有定值60?、

方法2:问:要证∠ACB有定值,可以转化为求什么为定值？

答:要证∠ACB有定值,只需证∠EMF就是定值,只需证∠EMD+∠FMD就是定值,只要∠AMD+∠BMD即∠AMB就是定值即可。 证明:在四边形CEMF中,∠C+∠EMF=180?, ∵M就是△ABC的内心,

∴∠DMA=∠EMA, ∠FMB=∠DMB ∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240? ∴∠EMF=120? ∴∠C =180?-∠EMF=60?

总结:若要证的不变量比较困难,您可以先找找题中比较容易瞧出的不变量,然后建立两者之间的联系。

(设计意图:多角度,多方位地研究动态几何中的定值问题,本题以圆为背景,研究角的定值问题。)

过渡:上题就是道有关定值的证明题,也就就是已经明确方向肯定就是定值了,若不就是证明题呢？

【问题3】 已知:O就是如图同心圆的圆心,AB就是大圆的直径?点P就是小圆上的一动点,大小圆半径分别为R与r?问:PA2＋PB2就是否有定值,若有,求出定值;若没有,说明理由、 分析:这道题就是探索定值的问题,可以先用特位定值法,探索以下就是否可能就是定值。

① 点P放在直径AB上、

得PA2＋PB2＝(R＋r)2＋(、 R－r)2＝2(R2＋r2)、 ② 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上 也可得PA2＋PB2＝ R2＋r2＋R2＋r2＝2(R2＋r2)、

说明PA2＋PB2非常有可能就是定值,而且这个值为2(R2＋r2) B BB证明: (直角三角形计算法) P2222222PA＋PB＝HA＋PH+PH＋HB＝2PH＋ABOOOO(OH+R)2+(R-OH)2 HPPPAAA