传染病模型

（3） 参数的确定： 对于模型1

λ1---根据医学资料和有关数据推导而得。

q1——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。

L——由城市的出入人口流动情况决定。（主要由经济发达程度和交通状况决定，可查有

关资料） ------根据医学研?1究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可 得。

p——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。

第二阶段模型

在第二阶段中，公众和政府开始重视SARS疫情，且政府采取了比较强有力的措施。如对SARS病人积极隔离治疗，对可疑人群实行隔离，以及实行出游限制等，控制住了SARS疫情。

（1）符号的说明：ε2：指现在每天由感染者转变为病患者的比例

?： 指感染者中未被隔离所占的比例

λ2：指未被隔离的感染者发病后到入院隔离之前每天所感染的人数

q2 : 指此阶段的移出率（包括死亡率和康复率）

（2）建立模型

dI?Eε2?qI (4) dtdE?E?λ2?Eε2 (5) dt

有E0、I0等初值条件 由（5）式可得 两边积分可得：

dE?(?λ2??2)dt E(?λε2?2)tE? E ( t ) 0 e （6）

将（6）式代入（4）式，可得：

(?ε?θλ?2)2ΕI(t)= e 2 0 (7)

q（3） 模型的改进

此模型中存在着一个较大的问题，即将感染者看成是无限感染者，未考虑到感染者只能

ε 5

在其发病到住院之前的一段时间可以感染他人。我们设这一段时间为一定值，用T1表示。故我们对模型（5）式做如下修正：

dE?n?E???λ2?Eε?2，我们引进一调节参数n,当积分时dtt2?t1?T1,则从t1到T1这一段，n=1,从T1到t2这一段，n=0

e(?ε2?θλ2)nεΕ20所以I（t）=

q

此外，我们设R=λ2×T，R称为基本传染数。它表示一种传染病的传播潜力。例如，当R=2，就意味着平均一个传染病人能够传染2个健康人。基1是SARS流行的一个重要转折点。小于1就意味着SARS不能有效的传递到下一个健康人，从感染率下降的意义上来说，这意味着SARS得到了控制。

鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。

2.5 模型的求解

1.参数的量化

（1）.第一个模型中的参数

?1:根据北京地区从4月20日 到4月28日所公布的数据,一般情况,一个SARS病患者会感

染三个人,故我们取?1为

1,我们也可以根据具体的情况对?1进行修 正。 3 q :代表移出率（包括死亡率与康复率）。由于人们对SARS研究的深入,故第一阶段与第二

阶段的q有较大的差别.我们采用MATLAB对已公布的数据进行了拟合.如图二所示:

.

图2 为移出率随天数的曲线拟合图形

且我们拟

6

合出了其关于t 的函数关系式。即： q(t)=0.00008t-0.01813t+0.2024 所以我们对前九天的q值进行求平均值,可得q1=0.1369,对后50天的 q值也进行平均值处理,可得q2 = 0.2103.

L:由于第一阶段时,公众的重视程度不够,故我们可以用SARS暴发前的流动人口来估算,我们约定为100000

2?1:我们也用MATLAB进行了拟合,见下图3所示

图 3 SARS暴发前的流动人口来估算

我们拟合出了其方程,即有?(t)=0.0001x-0.0029x+0.0316x-0.01739x+0.4664 我们对前8天的?可得?2=0.0356.

p:流入人口中带菌者所带的比率.在SARS流行前,我们可查相关医学资料料,我们设为1/100。

又对超级感染者模型中,我们通过对数据的多次修订,发现当k取0.865时,数据吻合的很好。

?:我们通过上网对新加坡的数据的分析,发现在第一阶段中,特别是在传染病爆发的初期,由于病人的基数少,其值较大,而在后期,其值较小.故我们采用分段式表示. 即

值进

,可得?1=0.1669, 对后面的50天也进行平均处理,

432????0.24...(0?t?5)??

?0.01...(5?t?9)? （2）第二阶段参数的确定

?2:由于此阶段中,公众对SARS的防治注意程度比较高,因此未被隔离的感染者从发病到入院的时间较短,时间基数较小,因此?2反而比?1大,我们通过不断的修正,发现当

?2=0.71时,所得的数据与所公布的数据相吻合。

由前面的计算,我们已经得到?2=0.0356.

7

由前面的计算,我们已经得到q2=0.2103.

此外, ε0,I0,R0,E0,我们可以以所公布的数据为标准。

2.对模型求解与检验

我们将参数带入模型中,做出了其图象。

下面是我们所做的第一个图，是累积病例的模型图：下图为北京SARS病人确诊累计人数的模拟与实际情况的趋势图

图4 北京SARS病人确诊累计人数的模拟与实际情况的趋势图

从上面的图中，我们可以发现，模型与公布的数据吻合得很好，因此，模型可行。 下面是我们利用模型做出的关于感染者的模型

图5 实际感染者人数与模拟感染人数 其中

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