第六章 土的弹塑性模型

或

??ij?K??kk?ij?2G?eij （6.2.21）

（a）主应力空间 （b）?平面

图6-1von Mises屈服面

当J2?k时，材料处于弹塑性变形阶段，加载时??F?0?，将式6.2.19代人式6.2.17 和式6.2.18，可得应力应变关系为

??ij?或

?I19K?ij??Sij2G?d?Sij2k （6.2.22）

??ij?K??kk?ij?2G?eij?将式6.2.19代人式6.2.16，可得

d??Gd?Sij （6.2.23） kSmn?emn （6.2.24） k将式6.2.24 代人式6.2.22和式6.2.23 ，可得

?eij?或

?I19K?ij??Sij2G?Smn?emnSij （6.2.25） 22k??ij?K??kk?ij?2G?eij?GSmn?emnSij （6.2.26） k2式6.2.25 或式6.2.26是Prandtl-Reuss模型的本构方程。

若忽略材料的弹性变形，采用理想刚塑性假设，由Prandtl-Reuss模型可以得到Levy-von Mises模型。Levy-von Mises 模型 的本构关系可表示为：

?eij?6.2.3 Drucker-Prager模型

Smn?emnSij （6.2.27） 2k2Drucker-Prage 模型的屈服准则采用广义的von Mises 屈服准则，其表达式为：

F?J2??I1?k?0 （6.2.28）

广义的von Mises 屈服准则在主应力空间中，屈服面形状为圆锥面，在?平面为一个圆，如图6-2 所示。

图 6-2 广义von Mises 屈服面

Drucker-Prage模型认为当材料处于弹性阶段?F?0?或卸载时（F?0，同时

?F?0 ) ，应力应变关系为：

??ij??I19K?ij??Sij2G （6.2.29）

或

??ij?K??kk?ij?2G?eij （6.2.30）

当F?0，且加载时（?F?0），应力-应变关系为：

?Sij??ij??ij??d?????ij?9K2G2J2???I1?Sij?（6.2.31） ?

??或

?GSij???ij?K??kk?ij?2G?eij?d???3K??ij?（6.2.32） ?

J2????式中

?3K???kk?d??GSmn?emnJ2 （6.2.33） 29Ka?GDrucker-Prage 模型中参数?和k可以用上的粘聚力C和内摩擦角?来表示：

??sin?3?3?sin??2 （6.2.34）

k?2Ccos?3?sin?2 （6.2.35）

由式6.2.31可以得到塑性体积应变，

GSmn?emn??3K????kk?J2p??kk??3???9Ka2?G????? （6.2.36） ???上式表明：Drucker-Prage 模型中塑性体积变形不等于零。 6.2.4 Mohr-Coulomb 模型

与Prandtl-Reuss 模型和Drucker-Prager 模型不同的是Mohr - Coulomb 模型采用的屈服条件为Mohr-Coulomb 屈服条件，其表达式为

f??n?C??ntg??0 （6.2.37）

Mohr-Coulomb 屈服条件也可改写成下述形式；

1???f?I1,J2,???I1sin??J2sin????33???式中?角如图6-3 中所示

J2???cos????sin??Ccos??03?3? （6.2.38）

图6-3

将屈服条件式6.2.38代人式6.2.18可以得到Mohr-Coulomb 模型的本构方程式。这里只给出?f/??ij的表达式，本构方程式读者可以自己推导。注意到

33J3?? （6.2.39） ?5/2?J24sin3?J2???3 （6.2.40） ?3/2?J32sin3?J2对式6.2.38取微分可得?f/??ij表达式如下：