样条插值及应用深入研究

学院： 研究生学院 专业： 机械工程 组号： 39 成绩：

第二章 算法研究

一．《样条插值及应用》方法有多少（方法种类）？

2.1.1 《样条插值及应用》方法有多少？ 2.1.1.1 线性样条插值

如果在每个子区间上的分段多项式都是一次的，我们称之为线性样条。线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。

从代数的角度来看，每个 si 都是一个如下

si(x)?yi?yi?1?yi(x?xi) （2.1）

xi?1?xi的线性函数。 样条在每个数据点都必须连续，即

si(xi?1)?si?1(xi?1)我们很容易得到

si?1(xi)?yi?1?i?1,…，n?1 （2.2）

yi?yi?1(xi?xi?1)?yi （2.3）

xi?xi?1si(xi)?yi?yi?1?yi(xi?xi)?yi （2.4）

xi?1?xi所以以上论述成立。 2.1.1.2 二次样条插值

（1）对划分?：a?x0?x1??xn?b，构造以xi为节点的二次样条函数

s(x)?a2x2?a1x?a0?s(x)满足：

?c(x?x)jij?1n?122! （2.5）

① s(x)在每个区间?xi,xi?1?上是一个二次多项式； ② s'(x0)?y0',③ s(x0)?y0,

s(xi)?yisi'(x)?(i?0,1,2,…，n)；

(i?0,1,2,…，n)。

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yi?1' 学院： 研究生学院 专业： 机械工程 组号： 39 成绩：

在每个小区间?xi,xi?1?上是一个二次多项式，有3个系数，因此要确定s(x) 就要确定3n个

)待定参数。而由s(ix??s'x(?s)xi?'(i?)iiy?(i0…，,1,，n得到n?1个方程；由

…(，n0?,得到1n? 1个方程；由s'(xi?)?s'(xi?)(i?0,1,2,…，n?1)得

到n? 1个方程，总共3n? 1个方程，为了确定一个特定的样条插值函数。还需增加1个条件。这个条件通常是在区间?a,b?的两个端点处给出，即边界条件。边界条件根据实际问题的要求来确定，其类型很多。常见的边界条件类型有：

① 给定初始端点的一阶导数值s'(x0)?y0'； ② 给定终端点的一阶导数值s'(xn)?yn'； ③ 给定初始端点的二阶导数值s''(x0)?y0''； ④ 给定终端点的二阶导数值s''(xn)?yn''；

⑤ 若插值函数为周期函数时，此时y0?yn给定s'(x0)?s'(xn)。 （2）二次样条插值函数的构建

针对上面5种情况分别讨论二次样条插值问题。

①给定初始端点的一阶导数值：

s'(x0)?y0' （2.6）

在区间?x0,x1?内，已知s(x0)?y0，s(xn?1)?yn?1和s'(x0)?y0'，由Hermite插值公式可知

s(x)?y1?y0?h0y0'(x?x0)2?y0'(x?x0)?y0 （2.7） 2h02(y1?y0)?y0'，同样加上s(x1)?y1，h0其中hi?xi?1?xi(i?0,1,2,…，n?1)，此时s'(x1)?s(x2)?y2两个条件可推导出区间?x0,x1?内的二次插值函数，以此类推得到区间

?xi,xi?1?(i?0,1,2,…，n?1)内二次样条插值函数为

s(x)?yi?1?yi?hiyi'2(x?x)?yi'(x?xi)?yi （2.8） i2hi而yi+1'可由（2.9）递推得到

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yi+1'?si'(xi?1)?2(yi?1?yi)?yi'hi （2.9）

②给定终端点的一阶导数值：s'(xn)?yn'

在区间?xn?1,xn?内s(xn?1)?yn?1，s(xn)?yn和s'(xn)?yn'由Hermite插值公式可知

s(x)?yn?1?yn?hn?1yn'2(x?x)?yn'(x?xn)?yn （2.10） n2hn此时yn?1'?si'(xn?1)?2(yn?yn?1)?yn'，同时加上s(xn?2)?yn?2，s(xn?1)?yn?1两个条件可

hn?1以推导出区间?xn?1,xn?内的二次插值函数，以此类推得区间?xn?1,xn?次样条插值函数为

(i?0,1,2,…，n?1)内二

yi?yi?1?hi2yi?1'2s(x)?(x?x)?yi?1'(x?xi?1)?yi?1 （2.11） i?12hi而yi'可由（2.12）递推得到

yi'?si'(xi)?2(yi?1?yi)?yi?1' （2.12） hi③给定初始端点的二阶导数值：

s''(x0)?y0'' （2.13）

在区间在区间?x0,x1?内，已知s(x0)?y0，s(xn?1)?yn?1和s''(x0)?y0''，利用待定系数方法，二次样条插值公式为

2\（x?x0）2(y1?y0)?h02y0\ s(x)?y0?（x?x0）?y0 （2.14）

2h0此时

2(y1?y0)?h02y0\ （2.15） y0'?2h0这就转化为第一种情况，可由式（2.8）（2.9）得到二次样条插值函数。

④给定终端点的二阶导数值：

s''(xn)?yn'' （2.16）

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在区间?xn?1,xn?内s(xn?1)?yn?1，s(xn)?yn和s''(xn)?yn''二次样条插值公式为

(x?xn)22(yn?yn?1)?hn?12yn'' s(x)?yn''?(x?xn)?yn （2.17）

2hn?1此时

2(yn?yn?1)?hn?12yn\ （2.18） yn'?2hn?1这就转化为第二种情况，可由式（2.11）（2.12）得到二次样条插值函数。

⑤已知y0?yn，给定：

s'(x0)?s'(xn) （2.19）

由式（2.9）可知：yn'?A．当n为偶数时

yn'?2(yn?yn?1)2(yn?1?yn?2)2(yn?2?yn?3)2(y2?y1)2(y1?y0)??+…+-+y0'hn?1hn?2hn?3h1h0（2.20）

2(yn?yn?1)2(yn?1?yn?2)?yn?1'，yn?1'??yn?2'，以此类推，得到：

hn?1hn?2若满足：

s'(x0)?s'(xn) （2.21）

只有

yn?yn?1yn?1?yn?2yn?2?yn?3y?yy?y???…+21-10=0 （2.22） hn?1hn?2hn?3h1h0成立时有解，并且y0'无限制。任意一个y0'可得到一组样条插值函数。若式（2.22）不满足无解，找不到满足条件的样条插值函数。

B．当n为奇数时

yn'?2(yn?yn?1)2(yn?1?yn?2)2(yn?2?yn?3)2(y2?y1)2(y1?y0)??-…-+-y0'hn?1hn?2hn?3h1h0（2.23）

若满足：

s'(x0)?s'(xn) （2.24）

只有

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