排列组合的21种例题

高考数学复习 解排列组合题的21种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

1.解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4?24种，答案：D. 2.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

2.解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种数是A5A6?3600种，选B. 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

3.解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即52524 15A5?60种，选B. 2 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

4.解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B. 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A、CCC4124844种 B、

44C12C84C43CCC种 C、CCA种 D、种 3A3412484441248335.解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C7?2520种，选C. 6.答案：A. 6.全员分配问题分组法:

例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A、480种 B、240种 C、120种 D、96种

232117.解析：把四名学生分成3组有C4种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共有C4A3?36种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 8.答案：B. 7.名额分配问题隔板法:

例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 9.解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C9?84种. 8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

10.解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案A8种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A8方法，所以共有3A8；③若乙参加而甲不参加同理也有3A8种；

3334623 ④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A8种，共有7A8方法.所以共有不同的派遣方法总数为A8?3A8?3A8?7A8?4088种. 243322 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

11.解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有A5、A4A3A3、11311313A3A3A3、A2A3A3和A3A3个，合并总计300个,选B. 511312.解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A??7,14,21,14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做eIA??1,2,3,4,298?共有,100?共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C14，从A中任取一个，又从eIA中任取一个共有C14C86，两种情形共符合要求的取法有C14?C14C86?1295种. 13.解析：将I??1,2,311211,100?分成四个不相交的子集，能被4整除的数集97?，能被4除余2的数集A??4,8,12,100?；能被4除余1的数集B??1,5,9,C??2,6,能被4除余3的数集D??3,7,11,,98?，易见这四个集合中每一个99?，有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有2112C25?C25C25?C25种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

n(AB)?n(A)?n(B)?n(AB).

例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

14,解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： 4332n(I)?n(A)?n(B)?n(A?B)?A6?A5?A5?A4?252种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 15.A3A4?72种. 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.

例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

16.解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 种，选C. 17.解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有A4A4A5?5760种排法. 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

18.解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C9?C4?C5?70种,选.C 解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C5C4?C5C4?70台,选C. 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

211233312515214