全国初中数学竞赛试题及答案（1993年）

1993年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式x12?x6?1除以x2?1的余式是

(A)1; (B)-1; (C)x?1; (D)x?1; 2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x是实数,y?x?1?x?1.下列四个结论: Ⅰ.y没有最小值; Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;

Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

?x1?x2?x3?a1;?x?x?x?a;2342?? ?x3?x4?x5?a3;

?x?x?x?a;514?4??x5?x1?x2?a5.其中a1,a2,a3,a4,a5是实常数,且a1?a2?a3?a4?a5,则x1,x2,x3,x4,x5的大小顺序是

(A)x1?x2?x3?x4?x5; (B)x4?x2?x1?x3?x5; (C)x3?x1?x4?x2?x5; (D)x5?x3?x1?x4?x2.

5.不等式x?1?(x?1)2?3x?7的整数解的个解

(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在?ABC中,?A是钝角,O是垂心,AO?BC, 则cos(?OBC??OCB)的值是 (A)?22 (B) 22(C)

31 (D)?. 22答( )

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别

为m, n, p,那么m:n:p等于

111(A)::; (B)a:b:c

abc(C)cosA:cosB:cosC (D)sinA:sinB:sinC.

答( )

8.33(343231?1??)可以化简成 999(A)33(32?1); (B)33(32?1) (C)32?1 (D)32?1

答( )

二.填空题

3x2?6x?51.当x变化时,分式12的最小值是___________.

2x?x?12.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程(x2?1)(x2?4)?k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.

4.锐角三角形ABC中,?A?30?.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________.

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积S?ABC?S?HBC的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.

二.?ABC中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将?ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线

段DE的最小长度.

?,x2?,三.已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x1?x2??0. 且x1x2?0,x1??0,x2??0; (1)求证:x1?0,x2?0,x1(2)求证:b?1≤c≤b?1; (3)求b,c所有可能的值.