第12章 - 数的开方

第11章 数的开方 12.1 平方根与立方根(3课时) 第1课时 平方根（一）

课前预习

1.平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，即：如果x2=a，那么x叫a的平方根，记作x=±a。

2.平方根的的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0有一个平方根，是0；（3）负数没有平方根。 互动课堂

考点1：平方根定义

例1：求下列各数的平方根 （1）25 （2）0.49 （3）6

14 （4）16 解析：本题主要考求查平方根的方法，可根据平方根的定义求解。 解：（1）∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，即±

25=±5。

（2）∵（±0.7）2=0.49，∴0.49的平方根为±0.7，即±0.49=±0.7.

（3）∵（±52）2=25115154=64，∴64的平方根为±2，即±64=±2。

（4）∵16=4，且（±2）2

=4，∴16的平方根为±2。 针对性训练1：求下列各数的平方根

（1）2.56 （2）25121 （3）

9

解：（1）±1.6 （2）±511 （3）±3

规律与方法：1.记住一个正数a的平方根有两个，即±a。

2.可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。

3.求形如16这样的数的平方根，应先将原数化为最简形式，再求平方根。 例2：求下列各式中的x的值

（1）9x2-25=0， （2）4（2x-1）2=36

解：（1）9x2

=25

x2

=25

9∴x=±25=±5

93解：（2）（2x-1）2

=

364=9 ∴2x-1=±9=±3 ∴2x-1=3或2x-1=-3 即：x1=2,x2=-1 针对训练2：解方程

（1）3 x2=27 （2）4（x-1）2

=9

解：（1）x=±3 （2）x51=

2,x12=-2 规律与方法：利用x2

=a,那么x=±a求解。

考点2：平方根的胜质

例3：已知一个正数的两个平方根是2m-4和3m-1,求这个正数。 解：由题意可得： （2m-4）+（3m-1）=0

∴ m=1 即：2m-4=-2,3m-1=2 ∴这两个平方根为±2 ∴这个正数为4。

针对训练3：若3m-4和2m是同一个数的平方根，求m 的值是多少？

解：m的值为

45或4。 规律与方法：利用一个正数的两个平方根互为相反数求解。 随堂测评

1. 0的平方是0，2

79的平方是±53；81的平方根是 ±3 ； 2.若（x-1）2

=16，则x=-3或5；

3.若一个自然数正的平方根是a,则与它相邻的下一个自然数的平方根是（D） A.±a?1 B.a+1

C.a2

+1 D.±a2?1

4.下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②负数和0没有平方根；③存在平

方根等于本身的数；④若a的平方根是±4，则a=16；⑤a2

的平方根是a，其中正确的有（B）个。

A.1 B.2 C.3 D.4 5.解答题

若一个数的两个平方根是a+1和2a-1，求a 的值和这个数？ 解：a=2或0；这个数为9或1。

课外拓展

一、填空题

1.±3表示3的平方根，2表示2的正的平方根

2.若x2

=6，则x=±

6，若x2=（-6）2，则x=±6

3.若a是（-3）2

的正的平方根，

(?4)2的平方根是b,则a?b=5或1

4.若

a的平方根是±3，那么a=81 5.25的平方是 25 ，25的平方根是±

5

二、选择题

6.下列计算正确的是（A）

A.±(?3)2=±3 B.±52=5 C.- (?1)2=1 D.

(?2)2=-2

7.下列说法正确的是（D）

A.7是49的平方根，49的平方根是7。 B.16的平方根是±4。

C.0.009的正的平方根为0.03。

D.（-8）2

的平方根为±8。

8.若（2x）2

-64=0，则x=（D） A.4 B.8 C.-8 D.±4 9.当x=-3时，x2的值为（B） A.9 B.3 C.-3 D.±3

10. 4的平方根为±2，用式表示为（B）

A.

4=±2 B. ±

4=±2

C. 4=2

D.-

4=±2

三、解答题

11.求下列各数的平方根

①（100）2

②（±25）2

解：①±100 ②±5 12.解方程

①3x2-18=0 ②2（x-1）2

-18=0

解：①x=±6

②x=4或-2 13.计算 ①±1.96 ②-2(?7)

9③ 13×0.36+1900-(519-2.25）

162.25）

×4 解：①原式=±1.4 ②原式=-79 ③原式=7

15 14.一个正数的平方根是2a-1和-a-5,求a和这个正数。 解：a=6，这个正数是121。

15.若2a-1的平方根为±3,3a+b-1的正的平方根是4，求a+2b的平方根。 解：a=5,b=2, ±

a?2b=±3

超越自我

16.借助计算器探究与猜想，1=1，

121=11，

12321=111，1234321=1111??，猜想12345678987654321=111111111

第2课时 平方根（二）

课前预习

1.算术平方根的定义：一个正数a的正的平方根叫 a的 算术平方根 ，记作a，

0的算术平方根是 0 。

2.开平方定义：求一个非负数的平方根的运算叫作 开平方

3. a有意义的条件为： a≥0 4.非负数a算术平方根的性质：

a≥0

5. |a|、a和a2n

都是非负数，即：|a| ≥0 ，a= ≥0 ，a2n

= ≥0 。 非负数的性质：若干个非负数的和为0，则这若干个非负数同时为0，即：若

|a|+b+c2n

=0,那么a= 0 , b= 0 ,

c= 0 .

互动课堂

考点1：算术平方根的定义

例1：说出下列各式的意义，并化简 ①16 ②±1.96 ③-9

解：①16表示16的算术平方根， ∴16=4。

②±1.96表示1.96的平方根， ∴±1.96=±1.4

③-9表示9的算术平方根的相反数或9的负的平方根， ∴-9=-3 规律与方法：±a表示a的平方根，a表示a的算术平方根，-a表示a的负

的平方根。

针对训练1：求16的平方根，算术平方根和负的平方根

解：∵16=4，∴16的平方根为±2，算术平方根为2，负的平方根为-2。 例2：当x为何值时，下列各式有意义？ ①

x?1

②?x

③x2?3

④

x?1x?1 解：①x≥-1 ②x≤0

③x为任意数 ④x≥-1且≠1 规律与方法：①若

a有意义，则必有a≥0 ②若

ba有意义，则a≠0 针对训练2：x为何值时，下列各式有意义

①

1x?1②2x?1 ③x?3x?2 解：①x≠-1 ②x≥12

③x≥-3且x≠2

考点2：算术平方根的性质

例3：已知：a、b、c满足1｜a-b|+2b?c+c2

-c+1=0,求a(b+c)的值

24解：由已知可得

1｜a-b|+2b?c+（c-1）2=0

22∵1｜a-b|≥0, 22b?c≥0, （c-1）2≥0

2∴1｜a-b|=0, 2 2b?c=0, （c-1）2

=0

2即有 a-b=0 解得 a=-14

2a+c=0 b=-14

c-1=0 c=1

22∴a(b+C)= -14(-14+1)=-1216 规律与方法：①若干个非负数和为0，则每个非负数为0，②应用非负数性质时，

化成左边为几个非负数的和，右边等于0的形式。

针对训练3：已知｜2x+y|+3?x =0,求x+y的值

解：x+y=-3

考点3：求算术平方根的整数部分和小数部分

例4：已知a是5的整数部分，b是5的小数部分，求a(b-5)的值。

解：∵4＜5＜9 即2＜5＜3

∴a=2 ∴b=5-2 ∴原式=2（

5-2-5）=-4

规律方法：确定a的整数部分，应先判定a的值在哪两个连续整数之间，从而

可求其整数部分，小数部分用a减去其整数部分即可求解。

针对训练4：已知9+7和9-7的小数部分分别为x、y，求3x+2y的值。 解：∵2＜7＜3 ∴x=9+7-11=7-2 y=9-7-6=3-7

∴3x+2y=3(7-2)+2(3-7)=7

随堂测评

1.下列说法： ①-8是64的负的平方根；②4是8的算术平方根；③一个数的算术平方根一定是正数；④ 49=±7；⑤16的算术平方根为4

正确的有（A）个 A.1 B.2 C.3 D.4

2.若x2

=16，那么5-x的算术平方根是（D） A.±1 B.±4 C.1或9 D.1或3

3.若（m-1）2

+|n-9|=0,则

mn的平方根是±1 34.若(x?2)2=2-x，则x的取值范围是 x≤2 5.71的整数部分为 8 ，小数部分为71-8

6.若y=3

x?1+21?x+3，求x+y的平方根。 解：∵??x?1?0?x?0

?1∴x=1，∴y=3, ∴±x?y=±1?3=±2

课外拓展

一、选择题

1.一个数的算术平方根是a，比这个数大1的数为（D）

A.a+1

B.

a+1

C. a-1 D.a2

+1

2.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是（C） A.0 B.1 C.0或1 D.±1或0 3.若

(3?x)2=x-3，则x 的取值范围为（C）

A.x＞3 B.x≤3

C.x≥3

D.x为任意数

4.估计88大小应在（C） A.在9.1～9.2之间

B.在9.2～9.3之间 C.在9.3～9.4之间 D.在9.4～9.5之间

5.定义“*”的运算法则为：x*y=xy?4，那么（2*6）*8值为（D）

A.3 B.4 C.5

D.6

二、填空题

6. 9的算术平方根为 3 ，9的算术平方根为3

7.当a= -2 时，3+a?2的最小值为 3

8.若

x=3，则x= 9 ，若x2=3，则x= ±3

9.若4?x+｜3x-y|=0，则 x+y= 16

10.下列式子：1?

13=213 ； 2?1114=3

4；3?5=415??， 请将发现的规律用含正整数n的等式表示出来:

n?11n?2=（n+1）n?2

三、解答题

11.计算72-(?15)2+81-3×279

解：原式=-4

12.若x、y为有理数，且y=x?4+4?x+2;求yx

的平方根

解：x=4 y=2 ∴±

yx=±24=±4

13.已知m是2+13的整数部分，n是13的小数部分，求m-n的值。 解：∵3＜13＜4， ∴m=5,n=13-3

∴m-n=5-(13-3)=8-13

14.已知x+7y的平方根为±3，3x+y的算术平方根为4，求x+2y的平方根。解：由题意得：

??2?x?7y?(?3)??3x?y?42 ∴??x?7y?9①3x?y?16② ?∴①+②得4x+8y=25， ∴x+2y=

254 ∴x+2y的平方根为±52 15.①∵22=4=2

32=9=3 42=16=4 ∴

a2=a （a≥0）

②∵(?2)2=4=2

(?3)2=9=3 (?4)2=16= 4

∴a2= -a （a≤0） ③根据以上结论解答下题： a、b两数在数轴上位置如图： 化简：

a2-b2－(a?b)2

· 解：∵a a＜0,b0＞ ·0,a-bb ＜0, ∴

a2=-a, b2=b,

(a?b)2=b-a

∴原式=-a-b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b

超越自我

16.①算一算

1×2×3×4+1=（12+3+1）2

2×3×4×5+1=（22+3×2+1）2

3×4×5×6+1=（32+3×3+1）2

②将发现的规律用含n（n为正整数）的式子表示

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2

③11?12?13?1= 155

第3课时 立方根 课前预习

1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，这个数叫a的立方根；如果x3

=a,