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雨中行走问题的分析
吴珍 数学与应用数学二班 A班 冯奎艳 数学与应用数学二班 A班 杨彦云 数学与应用数学二班 A班
摘 要 本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.
针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。
针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。
针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.
针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。 关键词 雨滴降落频率；优化模型；淋雨量
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一、问题重述
一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。按以下步骤进行讨论:
(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。
(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为?,问
速度多大时,总淋雨量最少。
(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为
?,问速度多大时,总淋雨量最少。
(4) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。
二、问题分析
人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率P(模型建立部分会做具体阐述)的概念。
对于问题一，在不考虑雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及顶部都会被淋到雨，此时淋雨量只与行走时间及单位时间内的降雨量有关。人以最大速度匀速运动时，通过位移公式S?vt，可计算出运动时间。
对于问题二，当雨迎面而来时，由于雨速与人行走方向成?角且在同一铅直平面，通过速度分解，分别考虑人头顶方向雨的方向、人正面雨速方向，再根据淋雨面积和淋雨时间即可确定淋雨量，建立总淋雨量模型，分析淋雨量关于速度的函数，得到最优解v，使淋雨量最小。
对于问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为?,与题二类似，淋雨量从人背面和头顶两个面讨论，两个面的雨速经过速度分解，雨降在两个面的速度是不同的，最终得出两个面的淋雨量，建立总淋雨量模型，通过分析淋雨量关于速度的函数，得到最优解v使淋雨量最小。
对于问题四，固定人的行走方向，从一个点出发建立直角坐标系，雨斜向下
?与竖直方向成?（0???）雨向以?绕竖直方向旋转一周包含了雨所有的方
2向，涵盖了雨的方向与行走方向处于铅直平面和异面的情况，建立模型，分情况讨论即可得出雨向与行走方向异面时的淋雨量。
三、模型假设
1．假设人是一个长为l,宽为d,高为h的长方体，人的各个面都有被淋到雨的可能；
2.假设人在奔跑过程中以v匀速运动；
2
3.假设下雨过程中，风速方向及大小稳定；
四、符号表示
符号 r v c 表示含义 雨滴的速度 人在雨中的行走速度 单位时间内的降雨量即降雨强度 不考虑雨的方向的淋雨量淋雨量 雨迎面吹来的淋雨量 雨从背面吹来的淋雨量 雨向与行走方向异面时的淋雨量 人在雨中直线行走的距离 人的长度 人的宽度 人的高度 雨迎面吹来与人体的夹角 雨背面吹来与人体的夹角 雨滴降落的频率 雨线方向在xoy面的投影与y轴夹角 雨线方向与z轴的夹角 Q1 Q2 Q3 Q D l d h ? ? p ? ? 五、模型建立与求解
冒雨行走是生活中常见的问题，为了被淋湿的最少，建立相应的数学模型来解决在雨中如何行走，使淋雨量最少。 5.1不考虑雨的方向时的淋雨量分析
在不考虑雨的方向的条件下，设降雨淋遍全身，则淋雨量包括顶部淋雨量，两个侧面淋雨量，迎面和侧面淋雨量。
D淋雨时间 t?
v 淋雨面积（顶部和四个侧面面积） s?dl?2hl?2hd
D 淋雨量 Q1??c?dl?2hl?2hd?
v5.2雨迎面吹来的淋雨量分析
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雨向θv
图1
雨迎面吹来时，雨的速度方向和人体的夹角为?，当是大暴雨时，雨像屋檐流水是不间断的，用雨速就可以确定降雨量，但通常雨都是不连续下落的，为了描述雨的大小引入降雨频率p的概念。
定义p为雨下落的频率用来描述雨的大小，将单位时间划分为n个?t（n尽
DcDc?cos??sin??? vrm其中有m个?t的时间在下雨。p?（0< p<1）记V为雨的体积则
nmmVcp???
nnVv可能的大）
当p=1时，雨是大暴雨连续的下。 当p=0时，晴天没有下雨。
D?rsin??v?p?hl? vD顶部降雨量 rcos?p?dl?
v前部降雨量
Q2?总降雨量
DD?rsin??v?p?hl??rcos?p?dl?vv
DDchlrcos?cdl??sin?chl???vrv5.3雨背面吹的淋雨量分析
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