材料力学综合复习 - 图文

要使梁的受力合理必须满足，∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣

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-qx(L-x)/2-q(L-x)/2∣=∣qx/8∣求解得到：

由图示可知，梁内最大弯矩发生在x=L/2处，即桥的中间截面。固当人行走到桥中点时，有坠河的危险。 6、一外伸梁AC受载如图，梁的总长度为L。力P可在梁上自由移动，欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，问支座B到梁端C 第五章 弯曲应力 的距离BC=

1、 纯弯和横力弯曲的概念； 2、 中性层和中性轴的概念； 3、 弯曲正应力的分布规律和计算公式，以及公式的适用条件； 4、 弯曲剪应力的分布规律和计算公式； 5、 梁的弯曲强度校核 6、 提高梁的弯曲强度的措施 1、危险截面的确定：对于等直梁，危险面就在∣M∣max处，而对于变截面梁，要分别计算∣M∣max处和截面最弱处的应力，这些截面都可能是危险面；对于抗拉压强度不等的脆性材料其危险面可能发生在∣M＋－∣max或∣M∣max处或截面最弱处； 2、弯曲剪应力的计算：b要求剪应力处截面的宽度，SZ*要求剪应力处横线距中性轴以外部分对中性轴的静矩； 重点

答案 BC＝L/5

答疑 当载荷移到AB的中间截面时，梁上产生最大正弯矩，大小为P×AB/4=P(L-BC)/4；当载荷移到端截面C时，梁内产生最大负弯矩，大小为-P×BC。欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，必须满足∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣P(L-BC)/4∣=∣－P×BC∣求解得到：BC＝L/5 。

7、欲用钢索起吊一根自重为q（均布于全梁）、长度为L的等截面梁，如图所示。吊点位置x应是 才合理。

难点

答案 x=

答疑 梁的弯矩图如下：

=0.2L

1、 横力弯曲与纯弯曲的概念； 2、 梁在弯曲时横截面上的正应力分布规律和计算公式； 3、 梁在横力弯曲时横截面上的正应力的计算； 4、 梁的弯曲正应力强度计算； 5、 满足强度条件的前提下的各类计算方法； 6、 梁在横力基本知识点 弯曲时的剪应力的分布规律及计算公式； 7、 掌握工程上几种常见截面(矩形、工字形、圆形)梁的弯曲剪应力分布规律及其计算公式； 8、 掌握常见截面的最大剪应力的计算公式； 9、 掌握梁的弯曲剪应力强度计算； 10、 提高梁弯曲强度的措施； 判断 弯曲正应力 1、“弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。” 答案 此说法错误 答疑 当轴力为零，且材料的抗拉压弹性模量相等的条件下，中性轴通过截面的形心；否则中性轴有所偏移。

欲使梁的受力合理必须满足∣-Mmax∣=∣+Mmax∣,因而有：∣qL2/8-qLx/2∣=∣－qx2/2∣求解得到：x=

。

2、“梁的截面如图，其抗弯截面系数为WZ＝BH2/6-bh2/6” 8、一个体重为P的人，试图走过两端简单搁置在河两岸的木板便桥。只要板内最大弯矩超过板材所能承受的弯矩，板桥就会断开。问人走在何处时会有坠入河中的危险？为什么 ？ 答案 人走在桥的中间截面处有坠河的危险。

答疑 木板桥简化为简支梁，当人在桥上行走到任意位置时梁的弯矩图如下：

答案 此说法错误 答疑 抗弯截面系数WZ=IZ/(H/2)=(BH3/12-bh3/12)×2/H=BH2/6-bh3/6H 3、“控制弯曲强度的主要因素是最大弯矩值” 答案 此说法错误

答疑 控制塑性材料的弯曲强度的因素是最大弯矩，控制脆性材料的弯曲强度的因素是最大正弯矩和最大负弯矩；控制弯曲剪应力强度的因素是最大剪力。

4、“设梁某段承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纤维分别是伸长的和缩短的” 答案 答疑

5、“中性轴是梁的中性层与横截面的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转”

答疑

梁在发生平面弯曲时，中性轴的一侧受拉、纤维伸长，另一侧受压、纤维缩短，只有中性轴处既不受拉也不受压，所以横截面绕中性轴发生旋转

2、矩形截面纯弯梁，M、ｂ、ｈ均已知，则图示斜截面上正应力的分布规律为： 。

A:12My/bh3 B:6 My /bh3 C:3 My /bh3 D: 9 My /bh3

答案 正确选择：C

答案 此说法正确 答疑

答疑 横截面的分布规律为：ζ=My/IZ=12My/bh3，ζα=ζcos2

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α=ζcos60=ζ/4=3My/bh

3、如图所示的二铸铁梁，材料相同，长度相等。承受相同的载荷F。当F增大时，破坏的情况是：

B：1梁先坏； C：2梁先坏

中性轴是横截面的中性层与横截面的交线，中性轴上的正应力为零。

梁在发生平面弯曲时，以中性轴分界：上压下拉或上拉下压，横截面A：同时破坏； 是绕中性轴发生旋转。

6、“平面弯曲时，中性轴垂直于载荷作用面” 答案

此说法正确 答疑

梁在发生平面弯曲时，中性轴与外载的作用面垂直。 7、“等截面梁产生纯弯时，变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变” 答案 此说法错误 答疑

等截面梁发生纯弯曲时，横截面在变形后仍保持为平面，但以中性轴为界，上压下拉或上拉下压，固横截面的形状和大小均发生变化。 选择 弯曲正应力

1、梁发生平面弯曲时，横截面绕 旋转。 A：轴线； B：中性轴； C：横截面对称轴； 答案

正确选择：B

A：上移； B：下移；

C：不动

答案 正确选择：3

答疑 混凝土属于塑性材料，抗拉强度较弱，所以应在梁内配置钢

筋以提高梁的抗拉强度。考虑到梁在左右两段承受负弯矩，使得梁在中性轴的上侧受拉，固在左右两段梁内钢筋应该布置在中性轴的上侧；中间一段梁承受正弯矩，使得中性轴的下侧纤维受拉，固钢筋应该布置在中性轴的下方。

选择 弯曲正应力

5、如图所示，抗拉压弹性模量不等的材料制成矩形截面弯曲梁，如果E拉>E压,则中性轴应该从对称轴Z 。 答案 正确选择 ：B

答疑 两梁的危险面均发生在固定端处，且危险面处有最大负弯矩，最大负弯矩值相同均为－FL。由于梁承受最大负弯矩，所以在横截面上产生上拉下压的弯曲正应力；1梁的中性轴偏下，产生拉应力的一侧距离中性轴较远，横截面上有较大的拉应力；又由于材料为铸铁，抗压不抗拉，所以1梁首先发生破坏。

4、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（虚线所示）配置最合理的是： 。

答案 正确选择：A

答疑两种材料在弯曲变形后中性层处有相同的曲率，而线应变ε＝y/ρ，固线应变与点到中性轴的距离成正比，固应变连续分布。而应力ζ＝Eε，由于材料不同，固应力不连续。

9、一铸铁工字型截面梁，欲在跨中截面腹板上钻一个圆孔，其位置有四种选择，从强度的角度考虑最合理的方案是 。

答案 正确选择：B

答疑 抗拉压弹性模量相等的材料制成的矩形截面梁在纯弯时中性轴位于横截面的对称轴处。若E拉>E压，此时中性轴不在横截面的对称轴处。由于横截面上不承受轴力的作用，固由弯矩产生的正应力满足以下关系：∫ζ拉dA拉-∫ζ压dA压=0 而 ζ拉=E拉y拉/ρ 、 ζ压= E压y压/ρ。代入得到：∫E拉y拉/ρbdy -∫E压y压/ρbdy =0。整理得到：∫E拉y拉dy＝∫E压y压dy。由于E拉>E压，所以有∫y拉dy<∫y压dy ，固有y拉

A：上升； B：下降； C：不变

答案 正确选择：A

答疑 腹板的中点处于弯曲变形的中性层处，弯曲正应力为零，

所以在腹板的中间处打孔危险最小。 填空 弯曲正应力

1、高宽比为h/b=2的矩形截面梁,若将梁的横截面由竖放(A)改为横放(B),梁的最大应力是原来的 倍。

答案 正确选择：C

答疑 悬臂梁受力后与大半径刚性圆柱面贴合时满足1/ρ

=M(x)/EI。由于梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的曲率半径为常量，固此后梁承受的弯矩M(x)为常量。所以力P增加，梁内的弯矩不变。

7、矩形截面梁横截面上只有正弯矩。假设材料的拉伸弹性模量和压缩弹性模量的比为3：2，那么确定中性轴Z位置的原则是受拉区I与受压区II 。

A：对Z轴的惯性矩之比IZ1:IZ2＝2:3 B：面积之比A1:A2＝2:3 C：对Z轴的静矩之比 Sz1:SZ2=2:3 D：高度之比y1:y2＝2:3

答案 梁的最大应力是原来的2倍

答疑 竖放时梁的最大应力为：ζ=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3 ，横放时

梁的最大应力为ζ=M/Wz=M/b2h/6=6M/2b3。所以横放是竖放的2倍。

2、在推导平面弯曲正应力的公式时，提出的两个假设为 ， 。

答案 正确选择：C

答案 平面假设、纵向纤维间无正应力。 3、梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底面的纵向纤维分别： 。

答疑 横截面上由弯曲正应力合成的轴力N＝0，有∫ζtbdy-∫ζ

答案 受压、受拉 cbdy=0 而ζt＝Ety/ρ ζc＝Ecy/ρ 代入得到：∫ρEtyt/bdy -∫

ρEcyc/bdy =0 其中ρ为中性层处的曲率半径，b为横截面的宽度，对于受拉一侧和受压一侧，二者相等，固整理得到：Et∫ytdy -Ec∫ 答疑 正弯矩的定义是使得微段梁下凸，横截面上上压下ycdy =0。其中∫ytdy为受拉一侧的面积对中性轴的面矩，∫ycdy为拉。 受压一侧对中性轴的面矩。二者之比为St/Sc=Ec/Et=2/3。

8、由两种不同材料粘合而成的梁弯曲变形，若平面假设成立，那么在不同材料的交接面处 。 A：应力分布不连续，应变连续； 变连续；

B：应力分布不连续，应

4、变截面梁的主要优点是： 。等强度梁的条件是： 。 答案

变截面梁的优点：在一定的强度、刚度条件下，节约材料、减轻自重； 等强度梁的条件：各截面上的最大正应力都相等，且都等于材料的许用压力。

C：应力、应变分布均连续； D：应力、应变分布均不连续；

5、应用公式ζ=My/Iz时，必须满足的两个条件是 和 。

答案 各向同性的线弹性材料、小变形

答疑 公式ζ=My/Iz的推导过程中应用了虎克定律且在纯弯的条件下推导出来的。

答案 抗弯截面系数分别为 a3/6；a3/24；a3/6；a3/6

6、图示中两梁的几何尺寸和材料相同。由正应力的强度条件可得（B）

答疑 a图的抗弯截面系数为Wz=bh2/6=a3/6； b图中维粘合，是两梁的承载力是（A）梁的 倍。

个截面的迭放形式，抗弯截面系数取其中的一个Wz=bh2/6=a×

(a/2)2/6=a3/24； c图中的也为粘合，相当于梁截面的并列排放，其抗弯截面系数为：Wz=2×bh2/6=2×a/2×a2/6=a3/6； d图截面斜放，但截面是正方形截面，截面对于任意轴的惯性矩相等均为

答案 （B）梁的承载力是（A）梁的5 倍

答疑 A梁的最大弯矩为qL2/8，B梁的最大弯矩为qL2/40，在几何尺寸相等的条件下，B梁的承载力是A梁的5倍。

填空 弯曲正应力

7、图示中梁受移动载荷P的作用，当P移到 截面时，梁内的压应力最大。

答案 弯矩M＝ Eπd/[32(D+d)]

答案 当P移到D截面时，梁内的压应力最大。 答疑 当载荷移到D截面时，梁承受最大正弯矩，大小为M＝P/2×4=2P，此时D截面的顶面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=2P×

2y1/Iz=4Py1/Iz；当载荷移到C截面处，梁承受最大负弯矩，大小为M＝－3P，此时C截面的底面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=3P×y1/Iz=3Py1/Iz。所以当载荷移到D截面时，梁内的压应力最大。 8、直径为ｄ的圆截面杆受力如图，弹性摸量E、载荷P 、梁的尺寸L 、a均已知。则梁在C点处的曲率半径为ρ＝ 。

答疑 钢丝绕在直径为D的圆筒上，得到钢丝的中性层处的曲率半径，大小ρ＝(D+d)/2。根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=M/EI,得到横截面上弯矩的大小为：M= EI/ρ=Eπd4/64ρ= E

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πd/64×(D+d)/2= Eπd/[32(D+d)] 简述 弯曲正应力

1、解释下列名词：①平面弯曲；②中性层与中性轴

答疑 平面弯曲：作用在杆件上的所有外力都作用在纵向对称面内，梁的轴线在变形后是一条位于纵向对称面内的一条平面曲线。 中性层：梁在发生平面弯曲时，横截面仍然保持为平面，沿截面高度，由底面纤维的伸长连续地逐渐变为顶面纤维的缩短，中间必有一层纤维的长度不变，此层纤维称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。

答案 梁在C点处的曲率半径为ρ＝Eπd/(6 4Pa) 答疑

C截面处的弯矩为M=Pa，根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=Pa/EI,所以C截面处的曲率半径的大小为ρ＝EI/Pa= Eπd4/(64Pa)

4

4

Iz=bh3/12=a4/12，抗弯截面系数为Wz=Iz/ymax= a4/12/

a/2=a3/6

10、直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上。已知钢丝在弹性范围内工作，弹性摸量为E，钢丝所受的弯矩为 。

2、在房屋的建造中，常常可以看到用空心楼板和波瓦作的屋面，请用弯曲理论解释其好处何在。

答疑 由于楼板承受与楼板平面相垂直的外力，使楼板产生弯曲变形，中性层位于楼板厚度的一半处，在此处既不受拉也不受压，所以在中性层处采用空心既可以满足强度的要求，又减轻了楼板的自重。 波瓦的受力也是与其所在的平面相垂直的外力，采用波浪型是为了在横截面面积几乎不变的条件下，尽可能地提高截面的惯性矩，以减小波瓦的最大弯曲正应力。

9、下列四种截面梁均是边长为ａ的正方形截面，若载荷均作用在纵向对称面内，计算四种截面梁的抗弯截面系数WZ＝ 。（b、c两种截面未经粘合） 3、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，

最大弯曲正应力哪一个大？