2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.2.1 向量的加法讲义 苏教版必修4

2.2.1 向量的加法

学 习 目 标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点) 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点) 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养 核 心 素 养(教师独具)

一、向量的加法 1．向量加法的定义

求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2．向量加法的运算法则 (1)三角形法则：

→→→

如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则向量OB叫做a与b的→→→

和，记作a＋b，即a＋b＝OA＋AB＝OB.

(2)平行四边形法则：

→→

如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作OA＝a，OC＝b，以OA，OC→

为邻边作?OABC，则以O为起点的对角线上的向量OB＝a＋b，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．

二、向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)a＋0＝0＋a＝a. (4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.

1．思考辨析

(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．( ) (2)两个向量相加，结果有可能是个数量．( )

(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．( )

[解析] (1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．

[答案] (1)× (2)× (3)×

→→→→→

2．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于________． →

→→→→→→→→→→→

AC [(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝AB＋BO＋OM＋MB＋BC＝AC.] →→→

3.AB＋BC＋CA＝________. →→→→→

0 [AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0.]

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

【例1】 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.

思路点拨：根据三角形法则或平行四边形法则求解．

[解] 法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即为a＋b＋c(用到向量加法运算律)． →→→

如图①，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，接着作向量AB＝c，则得向量OB＝a＋c，→→

然后作向量BC＝b，则向量OC＝a＋b＋c为所求．

法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，

→→→

(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b；(2)作平行四边形AOBC，则OC＝a＋b；(3)再

→→→→

作向量OD＝c；(4)作?CODE，则OE＝OC＋c＝a＋b＋c.则OE即为所求．

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：

区别：?1?三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；?2?三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.

联系：?1?当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；?2?三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.

1．如图所示，求作向量和．

(1) (2) (3)

[解] 如图中①，②所示，

图① 图② 图③

→→

首先作OA＝a，然后作AB＝b， →

则OB＝a＋b. 如图③所示，

→→→→→→→→

作AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，再作CD＝c，则AD＝AC＋CD＝(a＋b)＋c，即AD＝a＋b＋

c.

向量的加法运算

→→→→

【例2】 (1)在正六边形ABCDEF中，AB＝a，AF＝b，则AC＝________，AD＝________，→

AE＝________.

→→→→→

(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝________.

思路点拨：(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．

(2)由向量加法的三角形法则求解．

(1)2a＋b 2a＋2b a＋2b (2)0 [(1)如图，连结FC交AD于点O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．

→→→

根据向量的平行四边形法则，有AO＝AB＋AF＝a＋b.

→→→→→

在平行四边形ABCO中，AC＝AB＋AO＝a＋a＋b＝2a＋b.AD＝2AO＝2a＋2b. →→

而FE＝AO＝a＋b，

→→→

由三角形法则得：AE＝AF＋FE＝b＋a＋b＝a＋2b. →→→→→→→→→→

(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝0.]

1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.

2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．

2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： →→→(1)DG＋EA＋CB； →→→→(2)EG＋CG＋DA＋EB.

→→→→→→→→→→→→

[解] (1)DG＋EA＋CB＝GC＋BE＋CB＝GC＋CB＋BE＝GB＋BE＝GE. →→→→→→→→→→→→→

(2)EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝EA＋AE＝0. 向量加法在实际问题中的应用

[探究问题]

1．速度、位移等物理量是向量吗？为什么？

提示：是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素．