高中数学异面直线距离（教师用）

所以d=

3333。即异面直线AB与轴OO/之间的距离为。 22方法七 射影法

将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面

D1 C1 直线射影间距离。

例6 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，M、 A1 B1 N分别是棱AB、CC1的中点，E是BD的中点。求 N 异面直线D1M、EN间的距离。

思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、 面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直 D C 线D1M、EN射影到同一平面BC1内，转化为BC1、 E Q A M B 2QN的距离，显然，易知BC1、QN的距离为。 4所以异面直线D1M、EN间的距离为8、用向量求两条异面直线间的距离

2。 4下面介绍一种利用向量进行计算的简易方法．

我们先来看看空间向量在轴上的射影．设向量AB，那么它在u轴上的投影为AB从图１可以看出，为了作出AB在u轴上的射影，可以过点A、B分别作与u轴垂直的?

//??

A?

?B?u?

A'B'?

?

???

图1两个平面?、?，那么点A、B在u轴上的射影分别为A’、B’，且点A’、B’必定在平面?、?上．?显然， 就是 在u轴上的射影．从另一方面看，线段 就是异面直线A’A和B’B(如果它们不平行的话)的公垂线段，也就是两异面直线间的距离．所以，异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上射影的模亦即投影的绝对值就是两异面直线间的距离．因为

所以|A/B/|=AB|cosAB,u| |A/B/|表示两异面直线间的距离．由于?|| ?，它们之间的距离处处相等，所以u轴的选取不一定要是公垂线， 而只要同时与两异面直线垂直，也就是说 只要与公垂线方向向量共线即可．下面看个例子．

9

例5 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离． 解： 如图２，以直线DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，D 为原点，建立空间直角坐标系．则有D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、 C(0,a,0)、C1(0,a,a)，且 ＝(-a,a,0)， ＝(-a,0,a)， ＝(0,a,0)． 设 ＝(x，y，z)，由 · =0 z · =0 ， C'D'得 -ax+ay+0·z=0 解得x=y=z．∴ ＝(k,k,k)(k≠0) B'A' -ax+0y+a·z=0 ．

∴d= = = = ． O(D)C AB答：异面直线AC与BC1的距离是 ． x图2

综合题：

y例． 如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，求两异面直线BD、

B1C的距离．

解法一（面面平行法） 如附图，两异面直线BD、

B1C间的距离 ? 两平行平面BDA1、面B1CD1间的

距离d,且由三垂线定理知AC1与这两个平行平面垂直。 由平面几何知识易证AC1被这两平行平面三等分，

?d?3a． 3解法二（公垂线段法） 由上可知，两异面直线

11BD、B1C的公垂线段平行且等于AC1，由这一特殊

33的比例关系联想到三角形的重心，启发我们去构造重心!故找寻交线BC的中点

P，设PC1?B1C?M,PA?BD?N，易证M、N分别为?BCC1和?ABC的重心，由

PM1PN1==得MN平行且等于AC1，则MN即为两异面直线BD、B1C的PC13PA3公垂线段!

思维发散：空间四边形的四个内角中，最多有多少个直角呢? 如附图，在空间四边形CMNO中?CMN??MNO??NOC?90?，但对于?OCM是否为直角呢？不妨假设?OCM?90?，则异面直线BD、B1C将有两条公垂线段MN、OC，这与公垂线段的唯一性矛盾！ ?直角最多只能有3个。

10

解法三（最小值法）：在B1C上任取点M，在面BC1内作MH?BC，再在底

面

AB内C2?2作H?N?a?，x

，B连MN，设M?H, x??BH?a?,xHN13?a?a2222则在直角三角形MHN中，有：MH?x??a?x???x???，

22?3?32 当x?3aa ． ，即点M为B1C的一个三等分点时，dmin?33解法四（线面平行、等积法）：?B1C // 面A1BD,则两异面直线BD、B1C 间的距离?直线B1C到面A1BD的距离?点B1到面A1BD的距离

11故可由等积法得：ＶB1?A1BD＝ＶD?A1BB1 ??S?A1BD?d＝?S?A1BB1?a

33d3?(即 342a2?)a33a． ? d?63解法五（垂面法即射影法）：?A1D?面ABC1D1? 面A1DB?面ABC1D1，由B1C//A1D得 B1C?面ABC1D1, 设A1D?AD1?G,B1C?BC1?K， ?BD在面ABC1D1上的射影为BG,过K在面ABC1D1内作KQ?BG,由于B1C// 面

A1DB, 则：

两异面直线B1C与BG间的距离?直线B1C到面A1DB的距离? 两异面直线

B1C、BD间的距离 ? KQ即为所求！

2a?aBK?GK32在Rt?BKG中，KQ???a ． BG36a2解法六（法向量法）：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D?0,0,0?、B?a,a,0?、B1?a,a,a?、C?0,a,0?

?????????DB??a,a,0?,B1C???a,0,?a?，

11

?设两异面直线BD、B1C的法向量为n??x,y,z?， ?

????? n?DB＝xa?ya?0 ? y??x

????? n?B1C＝?ax?az?0 z?x

? 取x?1，则n??1,?1,1?，再在BD、B1C上各取一点D、C

?????DC?n????0?a?03?a ． 得DC??0,a,0?，?ｄ＝?＝33n?????????????解法七（分解定理法）：设n?xBA?yBC?BB1 是BD、B1C的公垂线段

上的向量（在空间向量基本定理中不妨取z?1）

????????????????????????? ? n?B1C=xBA?yBC?BB1?BC?BB1?a2??y?1??0

????????????????????????????? n?BD=xBA?yBC?BB1?BA?BC?a2??x?y??0

????????????????? ? y?1 则n＝-BA+BC+BB1

x??1

?????BB1?na23?a ． ? d=??33an

????????解法八（向量法）：? DB?(a,a,0)、B1C???a,0,?a?

???????? 设 DN?xDB?(xa,xa,0)?N(ax,ax,0)

????????? B1M?yB1C?(?ay,0,?ay)?M(a?ay,a,a?ay) ????? 则 MN?a(x?1?y,x?1,?1?y)

?????????2 ? DB?MN?a2(x?1?y)?a2(x?1)?0 ? x?

3?????????2 B1C?MN?a2(1?x?y)?a2(1?y)?0 y??

3?????111 ? MN?a(,?,?)

333?????3 所以 d?MN? a．

3

12