高中数学异面直线距离（教师用）

求异面直线之间距离的常用方法

求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 方法一、定义法也叫直接法，

根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。这是求异面直线距离的关键。

该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。

若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直，则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。

例1 已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。

思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得

CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，

a所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，DH=。

2a即异面直线CD与AE间的距离为。

2 A B

H

D C E F

例2 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.

(1)求证：EF是AB和CD的公垂线； (2)求AB和CD间的距离； (3)求EF和AC所成角的大小.

(1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.

又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E. 同理EF⊥DC交DC于点F. 所以EF是AB和CD的公垂线. (2)在Rt△BEF中，BF=

1213a,BE=a, 222a. 22a. 2例2题图

所以EF2=BF2-BE2=a2，即EF=

由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为

(3)过E点作EG∥AC交BC于G，因为E为AB的中点，所以G为BC的中点.所以∠FEG即为异面直线EF和AC所成的角.

1

在△FEG中，EF=

22a,EG=12a,FG=12a, cos∠FEG=EF2?EG2?FG222?EF?EG?2. 所以 ∠FEG=45°

所以异面直线EF与AC所成的角为45°．

例3 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。 取BC的中点P，连结PD，PB1分别交AC，BC1于M，N点，

易证：DB1//MN，DB1⊥AC， DB1⊥BC1， ∴ MN为异面直线AC与BC1

的公垂线段，易证：MN=B1D=a。

例4、正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)． 求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．

解：作SO⊥面ABCD于O，则点O是正方形ABCD的中心．

∵SO⊥AC，BO⊥AC，∴AC⊥面SOB．在△SOB中，作OH⊥SB于H①，

根据①、②可知OH是AC与SB的距离．

∵OH·SB＝SO·OB，

2

方法二、转化为线面距离

若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线C，记C与b确定的平面α。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。

例1 Ｓ为直角梯形ABCD所在平面外一点，?DAB??ABC?900，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=a，AD=2a，求异面直线SC与AB间的距离．

解：如图，设Ｆ是AD的中点,连结SF、CF, 则AB∥CF.故AB∥平面CFS 故直线AB到平面CFS的距离就是异面直线SC与AB间的距离， 在平面SAF内作AE⊥SF，垂足为E，易知AB⊥平面SAF， 故CF⊥平面SAF.

Ｓ ∴CF⊥AE. 从而AE⊥平面CFS,

故AE为直线AB到平面CFS 的距离,即SC与AB间距离. E 2在Rt?SAF中,易得AE=a．

2A B

C

F Ｄ

思考，与方法一的思路是否统一？

图

例2 如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。

思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖AE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，即为A到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，连结CD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VA-BCD=VC-ABD， 得 h=

dsin?sin?1?cos2?cos2?

方法三、体积法：体积法实质也为线面法

F C P

A Q α E H D G β B 本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积

公式求之。

例1：正方体，求AC与BC1的距离

3

当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后，设C点到平面A1C1B的距离为h，则

∵ h·(

a)2=·a·a2,

∴ h=

a，即AC与BC1的距离为

a。

例2 设长方体的三边长为AB＝5, BC＝4, BB1＝3,求AB和DB1之间的距离. 解:如图4,由AB∥A1B1,知AB∥平面A1DB1. 故要求AB和DB1之间的距离, 只要求出AB到平面A1DB1的距离即可. 连结A1D,AB1,

A1

D A

图３

B

D1 B1

C C1

则三棱锥A?A1B1D的高h也就是AB到平面A1DB1的距离. 而VA?A1B1D11S?h?S?AA1D?A1B1, 可求得h?12. ?VB1?AA1D,即?A1B1D33512. 5评注：等体积法是解决距离问题的常用方法，运用它可避免作一些复杂的辅助线，关键是找到容易计算面积的底面。 方法四、转化为面面距离

若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β。求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。

故AB和DB1之间的距离为

例1 棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，求两对角线A1B与B1C间的距离． 解：连结A1D,BD,CD1,B1D1，

∵A1D∥B1C，BD∥B1D1，A1D?BD?D， ∴平面A1BD∥平面B1CD1．

连结AC1,A1C1，则A1C1⊥B1D1，由三垂线定理，

A1 D Ｍ A 图

4

D1 Ｏ Ｎ C1 B1 C

B

E