2020版高考数学一轮复习第二篇函数及其应用(必修1)第9节函数模型及其应用习题(理)(含解析)

第9节 函数模型及其应用

【选题明细表】 知识点、方法 用函数(图象)刻画实际问题 二次函数、分段函数模型 题号 1,9 3,5,8,11,14 7,12 4,6,10,13 2 函数y=x+(a>0)模型 指数、对数函数模型 函数模型的选择 基础巩固(时间:30分钟)

1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( B )

解析:由题意知h=20-5t(0≤t≤4),图象为B.

2.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( C )

2

(A)y=100x (B)y=50x-50x+100

x

(C)y=50×2 (D)y=100log2x+100

解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应选C.

3

3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m的,按每立方

3

米m元收费;用水超过10 m的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为 ( A )

3333

(A)13 m (B)14 m (C)18 m (D)26 m

3

解析:设该职工用水x m时,缴纳的水费为y元, 由题意,得y=

则10m+(x-10)·2m=16m, 解得x=13.

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4.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C )

(A)8 (B)9 (C)10 (D)11

解析:设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为(),则

n

()<

n

,得n≥10.

所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”.

5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).

*

公司决定从原有员工中分流x(0

解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则由

解得0

*

.

因为x∈N,所以x的最大值为16.

n t

6.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae.

假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m的值为( A ) (A)5 (B)8 (C)9 (D)10

解析:因为5 min后甲桶和乙极的水量相等,

所以函数y=f(t)=ae满足f(5)=ae=a,

n t5n

可得n=ln ,

所以f(t)=a·(),

因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,

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f(k)=a·()=a,

即()=,

所以k=10,由题可知m=k-5=5.

7.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .

解析:一年的总运费为6×=(万元).

一年的总存储费用为4x万元.

总运费与总存储费用的和为(+4x)万元.

因为+4x≥2=240,

当且仅当=4x,

即x=30时取得等号,

所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 答案:30

8.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 m.

解析:设内接矩形另一边长为y, 则由相似三角形性质可得

=,

解得y=40-x,

所以面积S=x(40-x) 2

=-x+40x

2

=-(x-20)+400(0

能力提升(时间:15分钟)

9.(2017·北京市丰台区高三二模)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体

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内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:

根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,不正确的是( D ) (A)首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用

(B)每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒 (C)每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用

(D)首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒

解析:从图象可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后,该药物的血药浓度大于最低有效浓度,药物发挥治疗作用,A正确;第一次服药后3小时与第2次服药1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,B正确,D错误;服药5.5小时后,血药浓度小于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,正好能发挥作用,C正确.故选D.

10.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( B ) (A)略有盈利 (B)略有亏损

(C)没有盈利也没有亏损 (D)无法判断盈亏情况

解析:设该股民购进这支股票的价格为a元,

nn

则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)=a×1.1元,

nnnn

经历n次跌停后的价格为a×1.1×(1-10%)=a×1.1×0.9=a×

nn

(1.1×0.9)=0.99·a

11.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A,那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为 .(用常数a表示) 解析:令t=

(t≥0),则A=t,

2

所以D=at-t=-(t-a)+a.

222

所以当t=a,即A=a时,D取得最大值.

2

答案:a

12.为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚

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