图像处理中正交变换方法对比

5-6）

写成矩阵式

?F(0)??0.500?F(1)??0.653?????F(2)??0.500???F(3)???0.2710.5000.271?0.500?0.6530.500?0.271?0.5000.6530.500??f(0)??f(1)??0.653?????0.500??f(2)?????0.271??f(3)? （式5-7）

若定义[A]为变换矩阵,[F(u)]为变换系数矩阵,[f(x,y)]为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式

F(u)?[A][f(x)] （式5-8）

同理，可得到反变换展开式

F(3)?f(0)?0.500F(0)?0.653F(1)?0.500F(2)?0.271?f(1)?0.500F(0)?0.271F(1)?0.500F(2)?0.653F(3)??F(1)?0.500F(2)?0.653F(3)?f(2)?0.500F(0)?0.271?F(3)?f(3)?0.500F(0)?0.653F(1)?0.500F(2)?0.271 （式5-9）

写成矩阵式

?f(0)??0.500?f(1)??0.500?????f(2)??0.500????f(3)??0.5000.6530.271?0.271?0.6530.500?0.500?0.5000.5000.271??F(0)???F(1)??0.653????0.653??F(2)?????0.271??F(3)? （式5-10）

即[f(x)]?[A]?[F(u)] （式5-11） 当然，二维离散余弦变换也是可以写成矩阵式 [F(u.v)]?[A][f(x,y)]

[f(x,y)]?[A]?[F(u,v)] （式5-12） 式中[f(x,y)]是空间数据阵列，[F(u,v)]是变换系数阵列，[A]是变换矩阵，[A]?是[A]的转置

16

5.2 离散余弦变换代码

5.3 离散余弦变换与逆变换结果

17

6 小波变换

6.1概述

由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

6.2 小波变换的基本理论

设?(t)? L2 (R)(L2 (R)平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），其傅立叶变换为?(?).如果?(?)满足允许条件

???(?)C???R?2?d??? （式6-1）

则称?(t)为一个基本小波或母小波。将母小波?(t)经伸缩和平移后，就

18

可以得到一个小波函数。 对于连续的情况，小波函数

?a,b(t)?1a?(t?b ) a,b?R,a?0 （式6-2）

a式中，a为伸缩因子；b为平移因子。对于离散的情况，小波序列为

?j,k(t)?2?j/2 ?(2t?k) j,k?Z （式6-3）

?j

在相平面中，b仅仅影响窗口在时间轴的位置，而a不仅影响窗口在频率轴的位置，而且也影响窗口的形状。 因此，小波变换对不同频率在时域上的取样步长具有可调节性，即在低频时小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间频率较高，而频率分辨率较低，这正好符合低频信号变换缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是它优于傅立叶变换地方。从总体上来说，小波变换比傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。 如图6-1所示，

19