八年级数学竞赛培训：勾股定理

（2）如图所示： 成立，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD 222在Rt△ABD中，AB=AD+BD① 222在Rt△APD中，AP=AD+PD② 2222①﹣②得：AB﹣AP=BD﹣PD=（BD+PD）（BD﹣PD）=PC?BP； （3）如图所示： 如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， 在Rt△ABD中，AB=AD+BD， 222在Rt△ADP中，AP=AD+DP， 22222222∴AP﹣AB=（AD+BD）﹣（AD+DP）=PD﹣BD， 又∵BP=BD+DP，CP=DP﹣CD=DP﹣BD， 22∴BP?CP=（BD+DP）（DP﹣BD）=DP﹣BD， 22∴AP﹣AB=BP?CP． 22结论：AP﹣AB=BP?CP． 222 点评： 本题主要考查勾股定理的应用，以及等腰三角形性质的掌握． 27．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由．

考点： 旋转的性质；勾股定理． 专题： 开放型． 分析： 将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，根据旋转的性质得AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，22222∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG=FC+CG=BE+FC；再根据∠EAF=45°，易证得△AGF≌△AEF，则有 FG=EF，即可得到BE、CF、EF之间的数量关系． 解答： 解：BE、CF、EF之间的数量关系为：EF2=BE2+FC2． 理由如下： 21

∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG， 连FG，如图， ∴AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°， ∴∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°， ∴FG=FC+CG=BE+FC； 又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°， ∴∠GAF=90°﹣45°=45°， 而AG=AE，AF公共， ∴△AGF≌△AEF， ∴FG=EF， ∴EF=BE+FC． 22222222 点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了勾股定理以及三角形全等的判定与性质． 28．如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=，求AC的长．

考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 专题： 计算题． 分析： 过点D作DE⊥AB于E，则△ADC≌△ADE，所以DE=CD=，可得BD=，在Rt△BDE中，根据勾股定理可得BE=2，再在Rt△ABC中，设AE=AC=x，由勾股定理解得AE的值，即是AC的值． 解答： 解： 过点D作DE⊥AB于E， 在△ADC和△ADE中 ∴△ADC≌△ADE（AAS）， ∴DE=CD=，AE=AC， ∴BD=4﹣=， 在Rt△BDE中，BE=在Rt△ABC中，设AE=AC=x， 222x+4=（x+2），

=2， 22

解得x=3， ∴AC=3． 点评： 此题主要考查角平分线的性质和勾股定理以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键． 29．（2003?烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图（1）．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．

（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形． （要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）

考点： 勾股定理． 专题： 作图题． 分析： （1）可设直角三角形的两条直角边，根据勾股定理得到两条直角边的一个关系式，再结合已知条件联立解方程组，求出两条直角边的长．则小正方形的面积即为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积； （2）根据面积不变，可知要拼成的正方形的边长是．13=4+9，故可以把它分割成4个直角边分别是2和3的直角三角形和两个长宽分别是1和0.5的矩形． 解答： 解：（1）设直角三角形的两条边分别为a、b（a＞b）， 则依题意有：， ①两边平方﹣②，得ab=6， 22（a﹣b）=（a+b）﹣4ab=1， ∴a﹣b=1， 故小正方形的面积为1． （2） 点评： （1）注意正方形的面积即为直角三角形斜边的平方；（2）注意根据图形的面积不变进行分析． 30．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明：BD=AB+BC．

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考点： 勾股定理的逆定理；旋转的性质． 专题： 证明题． 分析： 要证明BD2=AB2+BC2，想到勾股定理，由于BD，AB，BC不在同一个三角形中，连接AC，将△DCB绕点C旋转60°到△ACE的位置，连接EB，证明△ABE是直角三角形即可． 解答： 证明：如图，连接AC， ∵AD=CD，∠ADC=60°， ∴△ADC是正三角形． ∴DC=CA=AD． 将△DCB绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置，连接EB， ∴DB=AE，CB=CE，∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=∠BCD﹣∠ACB=∠ACD=60°， ∴△CBE为正三角形． ∴BE=BC，∠CBE=60°． ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°． 222在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=AB+BE． 222∴BD=AB+BC． 点评： 能够充分运用旋转的性质，把要证明的线段转换到一个三角形中，根据旋转的性质发现一个直角三角形，再根据勾股定理即可证明． 24

参与本试卷答题和审题的老师有：nhx600；lanchong；MMCH；xingfu123；王金铸；lf2-9；wdxwzk；自由人；haoyujun；蓝月梦；HLing；499807835；leikun；zhehe；bjy；hnaylzhyk；zyc；ln_86；kuaile；mmll852；HJJ；心若在；gsls；星期八；KBBDT2010；fxx；ljj；caicl；CJX（排名不分先后） 菁优网

2013年10月30日

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